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Ce cours présente une étude de variation de suite basée sur une suite explicite. L'approche utilisée ici consiste à exprimer la suite en termes d'une fonction f(x) = (x-3)/(2x+1) et à étudier les variations de cette fonction pour en déduire les variations de la suite. Pour simplifier l'expression de la fonction, on utilise une astuce consistant à inverser le numérateur et le dénominateur afin d'obtenir f(x) = 1/(2x+1) - 7/2. Cette fonction est une fonction inverse avec un signe moins, ce qui signifie qu'elle est décroissante. En conséquence, la suite est également décroissante. Cette approche permet de simplifier l'expression de la suite et est une alternative à la méthode habituelle utilisant des additions et des soustractions. En conclusion, la suite étudiée est décroissante.

Une étude de variation de suite basée sur une suite explicite. Alors là il y a plein de manières de faire, moi ce que j'aime tout de suite, c'est repérer que derrière cette suite, j'ai une fonction, soit f, sur R+. Donc je vais dire tel que f de x égale x-3 sur 2x plus 1. Je vais étudier la fonction f, puis en déduire les variations de u. On pourrait faire un plus un moins un, ça marcherait, mais j'aime bien faire un peu cette méthode là. Moi ce que j'aime bien faire, c'est utiliser, quand je repère que j'ai un degré 1 au dessus de la fraction, et un degré 1 en dessous de la barre de fraction, c'est faire apparaître. C'est un petit peu astucieux, faire apparaître le truc qui est en dessous au dessus. Ça, ça m'aide vachement. Donc f de x égale, bon x c'est pas 2x, donc je vais écrire 1 demi de 2x pour faire x, et j'ai envie de faire un demi de 2x plus 1. Je fais exprès d'écrire en gros le truc qui est en dessous au dessus. Vous allez me dire, mais d'accord mais t'es un sorcier, parce que ça on n'a pas le droit de faire en fait. On n'a pas le droit de rajouter les trucs comme on veut, ben en fait ça dépend. Là quand je fais 1 demi fois 2x, ça fait x, donc ça je l'ai, je suis ok. C'est vrai que là j'ai 1 demi fois 1, ça veut dire que j'ai fait plus 1 demi. Ben écoutez, j'ai pas le droit, je reconnais, c'est faux, c'est pas faux. Je fais moins 1 demi, et ensuite il reste moins 3. Et alors là tout ça, mais pour quoi, quel est ce délire ? Vous allez me dire, t'es gentil, t'as fait apparaître le truc en bas laborieusement, en faisant 1 demi 2x, en rajoutant le plus 1 que t'as envie, en compensant, pour respecter les règles de mathématiques, d'accord. Mais pourquoi je fais ça ? Parce que maintenant je peux séparer en 2 la fraction. Et je peux écrire que c'est 1 demi de 2x plus 1 sur 2x plus 1, trop bien, parce que ça en fait ça fait 1, moins, alors il faut faire attention au signe, mais moins 3 moins 1 demi ça fait moins 7 demi sur 2x plus 1. Ça c'est trop cool parce qu'en fait ça me fait 1 demi fois 1 moins 7 demi fois 1 sur 2x plus 1. Et là j'ai tout bêtement une fonction inverse, 1 sur 2x plus 1 c'est comme une fonction 1 sur 2x, donc quasiment comme une fonction 1 sur x si vous voulez. J'ai une fonction inverse avec un signe moins devant. On peut dire, or, la fonction qui est x associé 1 sur 2x plus 1 est décroissante, parce que les fonctions hyperbole on sait que ça décroît tout le temps, donc la fonction qui est x associée sur les moins 7 demi, donc le 7 demi compte pas vraiment, mais c'est le moins qui compte fois 1 sur 2x plus 1, je multiplie par un nombre négatif, une fonction décroissante, je la multiplie par un nombre négatif, est croissante. Donc ça c'est une fonction croissante, je peux faire plus 1 demi, c'est juste une constance, ça change rien. Donc f est croissante. On rédige avec des mots, je suis paresseux, donc f est croissante, tout le temps, sur R+. Et bien donc u de n, comme u de n égale f de n, et que f est strictement croissante sur R+, R+, c'est l'ensemble des réels positifs, n, tout ce qu'elle prend, c'est des antinaturels qui sont positifs, ben on peut conclure que un est croissante. Voilà, c'est une manière un peu chelou, je voulais prendre cette occasion pour vous montrer que dès qu'on a une fonction de ce type, on peut la transformer, la rendre beaucoup plus jolie et beaucoup plus simple que ce truc là qui est un peu moche, un peu de fractions avec des x. Ici, il y a peut-être des 1 demi, des 7 demi, ça c'est des fractions, c'est pas compliqué en soi. Le plus important dans cette expression, c'est qu'il y a du x à un seul endroit dans toute l'expression. Il est un seul endroit qui est gérable, je sais que cette fonction est décroissante, donc je peux analyser tout bêtement que celle-ci est croissante. C'est une étape de simplification qui est un peu lourde, vous allez me dire qu'est-ce que tu fais, mais qu'il est bon à connaître, qu'il est bon de connaître. Donc voilà, je vous l'ai mise, c'était pas mal. Sinon, vous pouvez faire, entraînez-vous, un plus un moins un, ça marchera sans trop de problèmes, je pense. Je voulais juste vous montrer, mais ça donne pas d'alternative. Voilà, je vous dis à la prochaine, et courage pour la suite de votre semaine.

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