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Dans cet exercice, Pierre empile des livres de moins en moins épais en partant d'un livre de 500 pages. On cherche à déterminer combien de pages contient une pile de 20 livres. En utilisant la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, on obtient un résultat de 8100 pages pour la pile de 20 livres. Ensuite, on cherche le nombre maximum de livres que Pierre peut empiler si chaque livre doit contenir au moins 10 pages et on veut connaître le nombre total de pages de la pile. On trouve que le dernier livre doit être le 50ème et la pile va donc contenir 12 750 pages. L'exercice demande de bien poser le problème en mentionnant les termes de la suite arithmétique et en sachant appliquer les formules pour obtenir les résultats.

Exercice un petit peu plus élaboré, un petit peu plus difficile que ce qu'on peut faire avec les formules de base. Je vous remets juste une formule ici comme révision. Pour une suite arithmétique, voilà à quoi est égale la somme de ces termes. La manière de s'en rappeler c'est le nombre de termes dans la somme. Il y en a donc n plus 1 fois la moyenne arithmétique du premier et du dernier terme. Donc u0 plus u1 sur 2. Ça marche avec n'importe quelle somme de suite arithmétique. Nombre de termes fois premier plus dernier divisé par 2. Alors on a Pierre qui décide d'empiler des livres. Il place d'abord le plus gros livre qui a 500 pages, puis à chaque fois il met des livres de moins en moins gros au-dessus. Donc il fait 500, 490, 480, 470 pages, etc. Combien de pages contient une pile de 20 livres? Si on appelle u, c'est à vous de poser un peu tout. C'est pour ça que l'exercice est un peu plus difficile parce qu'il faut prendre toutes les initiatives. Il faut vraiment maîtriser tout pour poser bien les choses. Soit un, le nombre de pages de chaque livre. Le nombre de pages de chaque livre à chaque étape. Des livres de chaque étape. On a le premier livre. Je vais l'appeler u1 égale 500. u2 égale 490. Je comprends que u d'après, c'est comme u d'avant moins 10. Je comprends que un est arithmétique. Il faut le faire dès le début. Tout de suite avoir compris que c'est arithmétique, puis bien poser le problème. Comme vous l'avez vu en classe, en posant un, en trouvant la raison au moins 10, etc. Je peux donc écrire quelque soit n. C'est juste une manière de dire pour toute n, mais je peux vous l'écrire en français. Pour toute n. Je définis par rapport à u1. un égale u1 plus n moins 1. Je parle de u1 fois la raison, qui est moins 10. Donc c'est moins 10 que je monte en parenthèse. Donc j'ai un égale 500. moins 10 fois n moins 1. Parfait. On vous dit combien de pages contient une pile de 20 livres? Pour 20 livres, le nombre de pages, ça va être assez simple. c'est u1 plus u2. C'est le nombre de pages des 20 premiers livres. plus u3 plus un. On a dit que la formule c'est le nombre total de termes dans la somme. un c'est 20. Je vous ai mis un, mais en fait c'est u20. J'ai 20 termes. Trois, la moyenne du premier et du dernier terme. Donc c'est u1 plus u20 sur 2. Voilà comment on applique directement tout notre cours. Très bien connu, très bien maîtrisé. On l'applique, on arrive au résultat. Donc ça, ça vous fait 20 sur 2, 10. fois u1, 500. plus u20, c'est 500. Alors je remplace ici avec 20. 500 moins 10 fois 20 moins 1, 19. Et dans tout ça, c'est 500 plus 500 moins 190. Donc 500 plus 500, ça fait 1000. 1000 moins 190, ça fait 810. 810 fois 10, j'accélère un peu le calcul mental. Ça fait 8100. Voilà. Petite question numéro 2, combien de livres maximum peut-il mettre sur ses piles, sachant qu'un livre ne peut pas avoir moins de 10 pages. Combien de pages contiendra alors la pile? Il faut comprendre qu'en gros, le dernier bouquin que vous allez poser fait 10 pages. Le combien tième est-ce que vous avez fait une pile de bouquins? Vous voulez savoir, à un moment j'ai un bouquin, ils font 500 pages. 490, 480, 320 pages, 310 pages, 300, 290, etc. Jusqu'à 50, 40, 30, 20, 10. Ça c'est le dernier. On cherche le rang du dernier bouquin. Le combien tième c'est? N. Donc le bouquin N tel que un égale 10. Donc tel que 500 moins 10 fois N moins 1, égale 10. Soit, quand j'organise un petit peu ça pour le résoudre, je vois que 490 égale 10 fois N moins 1. D'où, en fait on trouve 49 égale N moins 1, N égale 50. C'est le cinquantième bouquin. Il faut résoudre ça, c'est pas trop compliqué, j'ai un peu accéléré, mais vous prenez cette équation, vous arrivez à ça très vite. Là vous avez N égale 50, donc c'est très bien. On vous dit combien de pages au total. J'applique la même formule que juste avant, ici. Nombre de pages totale, ça sera donc 50. Nombre de pages, NB pour nombre, 50 fois, le premier terme 500, plus le dernier terme, c'était 10, le dernier bouquin il a 10 pages uniquement, pour la moyenne de ces deux-là, divisé par 2. Ça nous fait donc 50 divisé par 2, 25, ça nous fait 25 fois 510. Bon, c'est un peu galère, mais... Ou non, je préfère ça peut-être un peu mieux, 50 fois 510, donc c'est 255. Ça peut-être plus facile. Et ça c'est donc 255 fois 100 divisé par 2, donc 25500 divisé par 2. Ah, c'est un peu la galère. Et on trouve un truc du genre 12000. 12500 ça fait 25000, donc 12750 pages au total. Voilà, un peu de calcul mental sur la fin. C'est pas trop compliqué, mais c'est bien de le poser en se rendant compte qu'il faut poser soi-même le problème, nommer les choses, appliquer les formules sans trop se tromper, et une petite astuce ici, on cherche, en vendant le dernier bouquin, on cherche donc que N égale 10, il vous résout dans deux temps, d'abord trouver N, puis ensuite réappliquer la formule de la somme. Je vous laisse là-dessus, j'espère que c'était assez clair, rendez-vous à le faire, il est pas mal, et je vous dis à la prochaine.

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