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Dans ce cours, on étudie la somme des carrés des premiers entiers. On commence par prouver que si deux suites ont le même premier terme et la même règle de récurrence, alors ce sont les mêmes suites. On utilise cette méthode pour calculer les trois premiers termes de la somme des carrés des entiers. Ensuite, on détermine une relation entre un plus un et un plus un en montrant que la somme des n premiers entiers au carré plus le dernier entier au carré est en fait la somme des n premiers entiers plus le dernier entier au carré. On donne ensuite une forme factorisée de cette somme, qui permet de simplifier la somme des carrés des premiers entiers. Enfin, on montre que la suite obtenue avec cette formule et la suite des carrés des premiers entiers ont le même premier terme et la même relation de récurrence, donc elles sont égales. Cette relation permet de calculer la somme des carrés des premiers entiers de manière plus simple et compacte.

Un exercice très classique également, c'est la somme des carrières. Il est classique de deux manières. Un, très classique parce que cette formule, en fait on la voit tout le temps, c'est une formule qu'il faudra apprendre par cœur si vous faites du maths après, genre MathsU, ou un truc comme ça. Et classique aussi dans la méthode. On vous dit, il y a une grande définition de cours, si une suite, si deux suites ont le même premier terme et la même relation de récurrence, alors ce sont les mêmes suites. Parce qu'en effet, si on commence au même endroit et qu'on va à chaque fois aux endroits d'après de la même manière, en appliquant la même règle, par exemple je pars de 3 de chaque côté, et je vous dis qu'à chaque fois il faut rajouter 5 pour passer au terme d'après, je vais faire plus 5, plus 5, plus 5, je suis en fait en train de faire la même chose tout le temps. Donc le même point de départ et la même règle pour avancer dans les termes, ça veut dire la même suite. Donc utiliser ça, c'est assez pratique pour démontrer que deux suites sont égales. Donc on va regarder ici, on va poser un égale à la somme des premiers carrés, calculer les trois premiers termes, u1 égale 1 au carré, u2 égale 1 au carré plus 2 au carré égale 1 plus 4 égale 5, u3 égale 1 au carré plus 2 au carré plus 3 au carré égale 5 plus 9, ça fait 14. On peut continuer comme ça. Alors petit 2, déterminer une relation entre un plus un et un plus un, c'est assez simple. un plus un c'est quoi? C'est 1 au carré plus 2 au carré plus 3 petits points plus n au carré plus le tout dernier n plus 1 au carré. C'est super parce que là, qu'est-ce que je reconnais? Ça c'est un, les n premiers. Donc un plus un c'est exactement la somme des n premiers, donc c'est un. J'ai juste rajouté le dernier entier en fait. J'ai rajouté n plus 1 au carré. Bon, c'est pas trop compliqué, il faut se rendre compte juste que la somme, un plus un étant la somme des n plus un premiers, je me rends compte que c'est comme la somme des n premiers auxquelles j'ai rajouté celui d'après. Ça c'est un plus un, on pose maintenant. Ce genre d'exo en fait, c'est vrai que c'est une démonstration où c'est pas vous qui devez trouver la forme factorisée. Il y a une jolie forme factorisée pour cette somme là, elle est fournie ici et on va se rendre compte que ça et ça sont de suite similaires. C'est vrai qu'il y a un autre type de démonstration qui serait, débrouillez-vous à partir de ça pour trouver la formule. Là c'est beaucoup plus difficile, on arrive dans la maths sup. Donc bon, c'est parti, on vous dit, vérifiez que u1 égal v1. Donc u1 on l'a calculé, c'est 1. On va calculer v1 ici. C'est 1 x 1 plus 1 x 2 x 1 plus 1, le tout divisé par 6. Parfait, ça ça fait 1 x 2 x 3, ça fait 6 sur 6, ça fait 1 et c'est bien égal à u1. C'est vérifié. Montrez que la suite vn vérifie la même relation de récurrence. Donc cette question 3, c'est exactement mon introduction. On va montrer entre ces deux suites, deux similarités, deux égalités, même premier terme, même règle pour passer d'un terme à l'autre. Si on arrive à démontrer ça, c'est fini, c'est les mêmes. Et donc je pourrais conclure que un égale vn. Et donc j'ai deux manières d'approcher le même objet, ça veut dire que cette écriture là est équivalente à cette écriture là. Ce qui est beaucoup plus simple ici à calculer, parce que je vous dis, calculez 100 premiers carrés, c'est la galère, vous n'allez pas faire la somme de 100 termes. Alors que là, vous n'aurez qu'à remplacer 100 x 101 x 201 sur 6, ce qui est gérable, une multiplication. Donc très bien, on va juste vérifier que vn plus 1, est-ce que vn plus 1 ne serait pas égal à vn plus n plus 1 au carré, on va espérer. Je vais calculer vn plus 1. Euh... Moins vn? Ouais, moins vn, c'est encore mieux. Vn plus 1 c'est quoi? C'est n plus 1. Je remplace tous les petits n ici par n plus 1, donc le premier c'est n plus 1, le deuxième c'est n plus 1 plus 1, ça devient n plus 2. Dans la troisième parenthèse, j'ai deux fois n plus 1 plus 1. Deux fois n plus 1 plus 1, ça fait 2n plus 2 plus 1. Le tout sur 6, bon le 6 il ne change pas trop. Sur 6, moins n, n plus 1, 2n plus 1. Oups. J'ai du mal quand j'arrive au bord de l'écran. 2n plus 1 sur 6. Je peux factoriser des trucs. J'écris égal n plus 1 sur 6. Je factorise au max, le 6 est commun, le 6 est commun aussi, 1 sur 6. Là j'ai n plus 2, 2n plus 3, moins n, 2n plus 1. Pourquoi? Parce que j'ai isolé les trucs communs. Les trucs communs si je les mets en couleur, c'était ça. C'était n plus 1 qui était de chaque côté, et 6 qui était aussi de chaque côté. Le 6 se retrouvait ici, et le n plus 1 ici. Ensuite il y a ce qui reste, c'est à dire ça qui est là, et ça fois ça qui est ici. Ça va simplifier et ça va marcher, on a n plus 1 sur 6. Je fais le calcul en direct, mais ça fait n plus 2, donc on va développer tous ces calculs. Là c'est combien? Ça c'est 2n², plus 2 fois 2n plus 3 fois n, ça fait 7n, plus 6, moins 2n², moins n, parfait, égal, les 2n² ont le bon goût de se casser, il reste 7n moins n, ça fait 6n plus 6, magnifique, ça fait 6n plus n plus 1, 6n plus 6 sur 6, c'est sublime. 6n plus 6 ça fait n plus 1, le tout fait n plus 1². Ça fonctionne, on a bien montré que vn plus 1, la relation entre vn plus 1 et vn, c'est bien vn plus n plus 1². On peut dire un et vn. Elles sont égales, elles partagent le même premier terme, la même relation de récurrence, elles sont donc égales, on a trouvé une relation beaucoup plus simple et compacte pour calculer les premiers carrés des entiers. Sur ce, je vous laisse, j'espère que c'était assez clair, et je vous dis à la prochaine.

Somme des n premiers carrés

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