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Dans ce cours, nous allons calculer la somme des premiers cubes. Nous allons découvrir que la somme des cubes est égale à la somme des entiers normaux, élevés au carré. Nous commençons par rappeler la formule de Vn, qui représente la somme des premiers entiers. Ensuite, nous calculons les trois premiers termes de chaque suite et remarquons que Un est probablement égal à Vn². La conjecture est confirmée en comparant les premiers termes des deux suites. Pour prouver que Un est égal à Vn² pour tout entier n, nous utilisons la même méthode que dans l'exercice précédent en vérifiant que le premier terme est le même et que la relation de récurrence est également la même. Nous effectuons des calculs pour montrer que la suite Wn vérifie la même relation de récurrence que Un et que les deux suites ont le même premier terme. Nous concluons ainsi que Un est égal à Wn pour tous les entiers n. La formule à retenir est que la somme des cubes est égale à la somme des entiers élevés au carré.

Un exo un peu dans la suite de l'exo précédent, cette fois-ci on va calculer non pas la somme des premiers carrés mais la somme des premiers cubes. Alors ça a l'air beaucoup plus compliqué vu que c'est des cubes, mais en fait on va se rendre compte, alors je vous fais un spoil total, mais on va se rendre compte assez vite que la somme des cubes c'est exactement la somme des entiers normaux, pas cubes, ni carrés, ni rien, elles-mêmes au carré. Donc en fait on va se rendre compte que 1 cube plus 2 cubes plus 3 petits points plus n cubes c'est égal à 1 plus n plus 3 plus n plus n au carré. Complètement fou, c'est un peu bizarre, mais c'est le résultat qu'on va démontrer. Donc je suis parti sur l'exo précédent, donc rappelez la formule de Vn. Dans le cours on sait que la somme des premiers entiers Vn égale le dernier entier fois le suivant, le tout divisé par 2. Remarque pourquoi est-ce que ça c'est toujours bien un entier, parce qu'un entier fois l'entier qui suit il y a toujours soit un pair et un impair, soit un impair puis un pair. Donc il y a toujours un des deux qui se divise par deux, c'est pour ça que c'est bien un entier naturel même s'il y a une fracture. Alors petit 2, calculez les trois premiers termes de chaque suite. V1 égale 1, V2 égale 1 plus 8, 9, V3 égale 1 plus 8 plus 3 cube 27, donc ça fait 9 plus 27, 36. V1 égale 1, V2 égale 1 plus 2 égale 3, V3 égale 1 plus 2 plus 3 égale 6. L'idée étant que là on commence à se dire, en fait Un, c'est sûrement Vn². Donc faire une conjecture non ? Il n'y a pas de question là, la conjecture qu'on pourrait vous dire de faire ce serait hypothèse, on sent que c'est le carré. Comparer les premiers termes de la suite, que remarque-t-on ? Conjecture, on a sûrement Un égale Vn², vu que ça marche pour les premiers. On veut montrer que pour tout entier n plus ou moins égal à 1, Un est bien égal à Vn². Qu'est-ce qu'on fait ? Même méthode que dans l'exo sur la somme des carrés, on va vérifier deux choses. Un, que le premier terme est le même et deux, que la relation de récurrence est la même. Donc c'est exactement le même type d'exo. On a W1 égale 1 fois 1 plus 1, le tout sur 2, le tout au carré, égale 1 fois 2 sur 2, le tout au carré égale 1, égale V1, très bien. Ensuite b, on sait que Wn plus 1, c'est ça, jusqu'à n plus 1 au cube. C'est donc égal, on reconnaît Vn plus n plus 1 au cube. Tout ce qu'on a à faire maintenant, c'est montrer que notre suite... Qu'est-ce que je disais ? Ah non, pardon, ça c'est Un. Excusez-moi. On a Un plus 1 égale tout ça, et donc égale Un plus n plus 1 au cube. Ça, c'est Un plus 1 qui est égal à la somme des cubes. Et on aimerait donc montrer, vu qu'on a le même premier terme, on aimerait montrer que Wn vérifie elle aussi cette même relation de récurrence. On prend un peu mon écriture. Un plus 1. Or, Wn plus 1 égale. Je vais faire moins Wn, d'ailleurs. Moins Wn égale. Et j'espère trouver la différence des deux termes, qui est égale à n plus 1 au cube. Donc c'est égal à... On prend l'expression de W, on la met en n plus 1. C'est-à-dire que je remplace ce n par n plus 1, ce n là aussi. Donc ça fait n plus 1, n plus 2 sur 2. n plus 1 fois n plus 2, le tout sur 2, le tout au carré. Moins n fois n plus 1, le tout sur 2, et le tout au carré. Très bien. Je vais mettre en facteur quelques éléments, notamment le 2 et le n plus 1 qui est ici. Ça fait n plus 1 au carré. Bon, je mets sur 4. Là on a un 4. Facteur 2. Il reste ici n plus 2 au carré. Moins n au carré. Très bien, ça nous fait n plus 1 au carré sur 4. Facteur 2, n2 plus 4n. Je développe plus 4 moins n carré. Et c'est fini. Parce que là il y a n2 qui dégage. 4n plus 4 c'est 4 fois n plus 1. Ça fait bien n plus 1 au cube. Wn et Un ont la même relation de référence. Elles vérifient tous les deux la même relation de référence. Comme vous voyez ici. Je mets ça ici. Et ensuite j'ai ça ici. C'est exactement la même relation de référence. Elles ont également le même premier terme. On a, pour toutes n, Un égale Wn. Démonstration terminée. J'espère que c'était assez clair. N'hésitez pas à poser des questions si vous en avez. C'est un bel exercice. C'est une belle formule à retenir. La somme des cubes c'est la somme des entiers. Le tout au carré. A la prochaine.

Somme des n premiers cubes

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