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Le cours traite de la résolution de deux exercices en mathématiques de niveau prépa ingé ou prépa commerce. Le premier exercice demande de trouver 4 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2 dont le produit est égal à 384. L'auteur résout le problème en décomposant 384 en facteurs premiers et en trouvant quatre entiers séparés de 2 tels que leur produit soit égal à 384. Le deuxième exercice demande de trouver 9 termes consécutifs d'une suite arithmétique dont la somme est égale à 63 et dont la somme des carrés est égale à 980. L'auteur résout le problème en écrivant la suite sous forme symétrique autour du terme central, en utilisant des identités remarquables pour calculer la somme des carrés et en trouvant la valeur de la raison de la suite à partir de la somme des carrés. Les solutions sont respectivement : 2, 4, 6, 8 et 4, 1, -2, -5, 7, 10, 13, 16, 19. Le cours met en avant l'importance de la réflexion et de l'initiative, ainsi que la nécessité de bien structurer son raisonnement et ses calculs.

Là on arrive dans des exos qui ne sont vraiment pas simples, j'ai téléchargé dans des bouquins des années 90-2000 qui sont faisables avec le programme de première, mais là on va commencer à pousser vraiment la réflexion et la préparation au genre d'exos ou de raisonnements que vous n'aurez en prépa si vous voulez faire prépa ingé ou prépa commerce. Mais vous allez voir que ce n'est pas ce niveau-là parce que c'est techniquement difficile, c'est surtout que ça demande beaucoup de réflexion et d'initiative. Techniquement c'est assez simple, on peut comprendre très vite la question. Trouver 4 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2, tout de suite j'écris, alors attention, je la pose, je commence direct, dès que je lis je réagis, mot clé, je vois que un égale u0 plus 2 fois n, raison 2, arithmétique, hop j'écris ça dans un coin de ma tête, dont le produit soit égal à 384. Ok donc je cherche en gros, il y a deux questions, il y a une question ici et puis une question 2 là. Moi je veux des termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2 dont le produit soit égal à 384. Donc si j'écris un terme, si je l'appelle x, je sais que ça s'écrira comme ça, mais je vais l'appeler x pour simplifier l'expression. Je peux prendre 4 termes consécutifs, ça va être x, x plus 2, x plus 4, x plus 6. Forcément vu qu'en gros je veux les termes consécutifs d'une suite, ça serait le x, puis plus 2, plus 2 et plus 2. Voilà les 4 termes. Et en gros je veux que ce produit, je sais que c'est un produit de 4 entiers, soit égal à 384. Là, je ne sais pas trop si c'est la seule solution, mais moi le premier truc que j'ai envie de faire, celle qui me semble le plus intuitive, c'est de partir sur 384. Etudions 384. Et voyons si je ne peux pas trouver 4 entiers séparés de 2 chaque fois, tel que le produit des 4 fasse 384. Donc décomposition en facteur premier de 384. Alors 384, 3 plus 4, ça fait 7 plus 8, 15, 7 divisé par 3. Ça tombe bien, c'est 300, c'est 100. Et 84 divisé par 3, c'est 81 plus 3, on va s'en sortir, ça fait 28. Donc ça fait 128 fois 3. Et 128 je connais, c'est une puissance de 2. Donc en fait c'est, je ne sais pas, 64 fois 2 si vous voulez. Donc c'est 8 fois 8, fois 2, fois 3. Là je vois qu'en fait si je commence à faire 4 éléments pour un produit, et que je veux que ça séparait de 2, il faut absolument que le 3 je le mette quelque part et que ça passe genre 6. Parce que moi je veux encore une fois trouver un nom, le même plus 2, le même plus 2 encore, et le même plus 2 encore. En fait en l'écrivant comme ça, ça commence déjà à apparaître. 2 fois 3 c'est 6, donc je vais pouvoir écrire, j'ai 8, 6, et ensuite il me reste 8. Et 8 c'est 4 fois 2, le problème est résolu. 2 fois 4, fois 6, fois 8. J'ai trouvé 4 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 2, dont le produit est bien égal à 384. Quels sont les 4 termes qui sont en progression arithmétique? 2, 4, 6, 8. Ça marche, le produit fait 384. Donc c'était juste une analyse plutôt type arithmétique, j'entends dans le sens de la science arithmétique. C'était beaucoup plus ça qu'en soi des suites. Je dois trouver 9 termes consécutifs d'une suite arithmétique dont la somme fait 63 et dont la somme déclarée fait 980. Un peu complexe. Donc là on a cette fois-ci un égal u0 plus nr, même la raison est inconnue ici. Donc on va chercher la raison, puis quels sont ces termes en fait. On va chercher 9 nombres séparés de je ne sais pas combien. Ici on savait qu'ils étaient séparés de là, ils vont être séparés de quelque chose. Donc 9 termes, l'astuce, je vous la donne tout de suite sinon je pense que l'exercice est compliqué, c'est de dire si on prend x le terme, vu qu'il y en a 9, x le terme central, je ne vais pas partir en disant x, x plus r, x plus 2r jusqu'à x plus 8r, je vais plutôt faire un truc symétrique autour de x. Donc ici j'ai x d'un côté, x plus r, x plus 2r, x plus 3r, x plus 4r. Oups, mon 4 n'est pas très joli, x plus 4r. Et de l'autre côté j'écris x moins r, x moins 2r, x moins 3r, x moins 4r. Vous voyez où je veux en venir. Quand j'écris ça, c'est parfait, là c'est mes 4 termes, j'ai bien 9 termes qui se suivent avec une différence de r à chaque fois. Mais quand je fais la somme, vu que je l'ai écrit comme ça, ça va être vachement simple de calculer la somme, je vais faire la somme de tout ça et je vois que j'ai moins 4r plus 4r, donc quand je fais la somme, ça va être assez simple. La somme, on nous dit que c'était 63, je vais écrire 63 égale 9 fois x, parce que j'ai 9 fois x, et ensuite moins 4r plus 4r, moins 3r plus 3r, moins 2r plus 2r, moins r plus r. C'est tout! Et donc tout de suite je trouve que mon terme central sera x égale 7. Donc je vais avoir 9 termes en progression arithmétique, mais dont le terme central est 7. J'en ai quelques-uns avant, peut-être 3, 5, 7, 9, 11, et quelques-uns après. Il faut juste savoir si je fais plus 2, plus 3, plus 4, il faut trouver r maintenant. Pour trouver r, il me faut une deuxième source d'informations, on me dit qu'il faut que la somme des carrés soit 980. Somme des carrés, c'est parti, on va l'écrire. Somme des carrés, ça a l'air compliqué, mais en fait ça va se faire avec des belles identités remarquables. Somme des carrés, x moins 4r au carré plus x plus 4r, je vais commencer à les ranger ensemble. Plus x moins 3r au carré plus x plus 3r au carré. C'est un peu long cet exercice, mais plus x moins 2r au carré plus x plus 2r au carré. J'étais un peu plus x moins r au carré plus x plus r au carré plus x carré. Or, a plus b au carré plus a moins b au carré, c'est une identité remarquable un peu retravaillée. Quand je développe le tout, j'obtiens a2 plus b2 plus 2ab, et ensuite il y a le moins 2ab qui va se compenser. Donc il va rester 2 fois a carré plus 2 fois b carré. Donc j'obtiens ma somme des carrés qui vaut, je peux l'appeler, je ne sais pas, tout ça, je peux l'appeler s prime si vous voulez. s prime égal, et bien 2 fois x carré plus 16r carré, ça sera pour ce terme là. Plus, le 2 est déjà là, x carré plus 9r carré, ça sera ce terme là. Plus x carré plus 4r carré, cette fois-ci ça sera ce terme ici. Plus x carré plus r carré, est-ce que j'ai assez de couleurs? Oui, c'est ce truc là. Plus x carré, qui lui est tout seul, en fait il sort, alors lui qui n'est pas du tout dans le 2, donc je vais finir le 2 ici et rajouter plus x carré en dehors. Comme ça. Et donc je m'en trouve avec ça égal, combien j'ai de x carré? 1, 2, 3, 4, 3, 2, 8, 9 x carré. Parce que moi on m'a dit derrière, la somme des carrés vaut 981, donc s prime c'est 981, doit être égal à 9 x carré plus combien de r carré? On va compter, 16 plus 9 plus 4 plus 1. Là je vois d'ailleurs que c'est une somme, c'est 1 au carré, 2 au carré, 3 au carré, 4 au carré, donc c'est 16 plus 9, 25, 30, 30 r carré fois 2 plus 60 r carré, égal, x carré je connais, c'est 49, parce que x c'est 7, j'ai déjà calculé avant. Et j'en déduis, 9 x 49 c'est 490 moins 49, donc c'est 10 x 49 et j'enlève 49, c'est 441 égale 60 r carré. J'espère que ça va se diviser par 60. Ça ça fait 540 égale 60 r carré, j'obtiens r carré égal 540 divisé par 6, 9. Donc je prends r égal 3. Ça pourrait être r égal moins 3, il n'y a pas de problème, je n'ai pas envie de prendre moins 3, de toute façon je m'en fiche, c'est symétrique. On me dit de trouver un ensemble de nombres r égal 3. Donc je comprends que mes nombres au final sont le nombre 7, ensuite avec moins 3, moins 6, moins 9, etc. et la même chose de l'autre côté. Donc mes nombres au final sont 7, 7 plus 3, 10, 13, 16, 19, et ici j'ai 4, 1, moins 2, moins 5. Et voilà mon ensemble de nombres. Je cherchais 9 nombres dont la somme fait 63 et dont la somme des carrés fait 981, je les ai trouvés. C'était très long, ça fait une longue vidéo parce que j'ai fait les deux exos en même temps. C'est assez long, mais voilà la méthode. Et en fait vous connaissez tout. Vous connaissez ce que c'est écrire en gros des termes géométriques. Vous connaissez les identités remarquables depuis la troisième qui sont ici. C'est juste vraiment un exercice type prépa parce qu'il faut de l'initiative et de la capacité à ranger proprement, à bien structurer votre raisonnement et vos calculs. Une fois que c'est fait, on sent que ça avance, mais là ça demande beaucoup d'expérience de savoir pratiquer ça sans faire d'erreur. Je vous l'ai montré, j'espère que ça le désacralise un petit peu. J'espère que ça vous a aidé ou ça vous a inspiré pour tenter des exos un peu plus difficiles. Posez des questions dans les commentaires et je vous dis à la prochaine.

Trouver des termes en progression arithmétique

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