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Ce cours traite de la recherche d'une valeur initiale U0 pour une suite mathématique qui sera constante ou arithmétique. Si Une suite est constante, cela signifie que pour tout entier n, Un+1 = Un = U0. En résolvant l'équation U0/(10/7-U0) = U0, nous trouvons que deux valeurs pour U0 donnent une suite constante: 2 et 5. Si une suite est arithmétique, alors Un = U0 + nR, où R est la différence constante entre les termes. En utilisant la notion de limites, nous trouvons que si R est différent de zéro, alors la suite ne peut pas être arithmétique. Nous en concluons qu'il n'existe pas de valeur possible pour U0 qui donne une suite arithmétique.

Encore un exercice bien difficile, qui sort un peu du cadre habituel. Cette fois-ci, on vous dit, voilà une suite définie par le premier terme U0 et la relation suivante, y a-t-il une valeur de U0 telle que cette suite soit constante? Première question, deuxième question. Petit temps, on va regarder. Si Un est constante, si et seulement si, quel que soit un entier, pour toute n, Un plus 1 égale Un égale U0. Je peux écrire la relation U0, je prends ma relation de référence, ça devient U0 sur, égale 10 sur 7-U0, en espérant que U0 soit pas égal à 7, U0 différente de 7 bien sûr. On prend U0 différente de 7, sinon ça marche pas. J'écris ça, parce que je sais que tous les Un plus 1 Un sont égaux à U0, j'y remplace dans ma fraction et je résous. Ce fait ça, ça va être juste un polynôme, ça fait 7U0-U0² égale 10, ça fait U0²-7U0 plus 10 égale 0. Il faut résoudre ce polynôme. Vous pouvez le faire avec un delta, ou vous pouvez remarquer, c'est un truc qui est au programme pour les polynômes de degré 2, vous pouvez remarquer qu'on a des racines évidentes. C'est à dire ici, je me rends compte qu'en utilisant le fait que devant le X dans un polynôme, c'est la somme des racines, et que le terme constant d'un polynôme de degré 2 avec des racines, c'est le produit des racines, je peux reconnaître que 10 c'est 5 fois 2, que 7 c'est 5 plus 2, et écrire directement U0-5, facteur de U0-2 égale 0. J'ai trouvé deux valeurs de U0, non pas une mais deux, telles que la suite soit constante. En effet, mes deux valeurs sont 2 et 5. On peut vérifier, si U0 vaut 2, qu'est-ce qu'il se passe? U1 vaudra 7-2, 5, 10 divisé par 5, 2, ça va se débloquer sur 2. Si U0 vaut 5, ça nous fait 10 divisé par 7-5 égale 2, U1 sera égale à 5, et on continue comme ça infiniment. On va trouver 2, c'est très bien. Existe-t-il une valeur U0 telle que la suite soit arithmétique? Alors là c'est un peu plus compliqué, on va écrire petit 2. Est-il possible que la suite soit arithmétique? Si elle est arithmétique, soit R telle que Un égale U0 plus nR. Maintenant je prends la relation qui est là-haut, et j'écris Un plus 1 égale U0 plus n plus 1 R égale 10 divisé par 7-Un. Donc Un, on a dit, c'est U0 plus nR. Est-ce que ça c'est possible? La manière la plus facile de se rendre compte si c'est possible ou pas, c'est de considérer la notion de limite. Alors la limite c'est quoi? U0 égale combien? Non, U0 c'est U0. Regardons la limite de cette chose-là. Ce terme ici, c'est 10 sur un truc qui tend vers plus ou moins l'infini. Ça c'est du n, donc en fait c'est genre comme si on avait AX plus B, c'est une espèce de relation linéaire en n, c'est 7-U0 plus n fois R. Si R est négatif, ça fonce vers moins l'infini. Si R est positif, ça fonce vers plus l'infini. Mais dans tous les cas c'est 10 sur un truc infiniment grand. Et donc en fait tout ça converge, donc A pour limite, 0 quand n tend vers plus l'infini. Que R, quel que soit le signe de R, la seule condition pour que ça ne soit pas vers 0, pour que ça, cette partie-là n'aille pas vers plus l'infini, c'est que R soit nul. Mais si R est nul, on a une suite constante. Donc ce n'est pas vraiment ce qu'on veut. Donc on a ça qui tend vers 0. Or, n plus 1 fois R, qui est ici, ne tend pas vers 0 du tout. Ça tend vers plus l'infini. Si R est différent de 0. C'est possible de réconcilier ces deux faits. Seule possibilité pour que ça fonctionne, c'est que R soit égal à 0 lui-même. Donc si R est égal à 0, on n'a plus la contradiction dans laquelle on était ici. R est égal à 0 et dans ce cas-là, c'est pas possible d'avoir une suite arithmétique. Donc on pourra dire que si R est égal à 0 et la suite est constante, on peut répondre qu'il n'existe donc aucune suite arithmétique, il n'existe aucune raison R pour que cette suite soit arithmétique. Ce n'est pas possible. Voilà la conclusion. J'espère que c'était clair. Je vous laisse ici pour cet exercice qui était un peu plus technique. Il fallait le poser, la correction est rapide, mais il faut bien le poser pour saisir où est-ce qu'il va en venir. Posez des questions dans les commentaires si nécessaire et je vous dis à la prochaine.

Tentative d'expliciter une suite récurrente

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Expression de termes d'une suite explicite