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La méthode de la quantité conjuguée est une technique mathématique très utile pour simplifier les racines dans les problèmes. Pour montrer que la somme des racines d'une suite arithmétique de réels positifs est égale à un certain résultat, on peut utiliser cette technique et la définition de la suite arithmétique pour démontrer que le résultat est égal à la somme de racines spécifiques de la suite. En utilisant la technique de la quantité conjuguée encore une fois, on peut simplifier ces racines et trouver la solution finale. La maîtrise de cette technique peut faciliter la résolution d'autres problèmes similaire, et il est important de bien la comprendre.

Encore un exercice de haut niveau qui va être assez complexe mais toujours basé sur des techniques de seconde première. Je vais vous faire un rappel d'abord parce que tout l'exercice va être basé là-dessus. Petit rappel de ce qu'on appelle la méthode de la quantité conjuguée. Petit rappel, on n'aime pas, c'est comme ça qu'on vous l'introduit généralement en seconde par exemple, on n'aime pas quand les racines sont au dénominateur. Donc on vous dit, on va plutôt écrire en faisant 3 racines de A en haut et en bas de la fraction. On fait 3 racines de A et on obtient racine de A sur A. Ensuite il y a des moments où les racines sont un peu plus complexes et on a par exemple une différence de racines au dénominateur. Comment on fait pour passer là? On multiplie en haut et en bas par racine de A plus racine de B. Ça nous fait apparaître racine de A moins racine de B fois racine de A plus racine de B. C'est une identité remarquable et on sait que ça, ça vaut le terme ici au carré moins le terme ici au carré. Ici, les termes au carré deviennent A moins B. C'est pour ça qu'on a ce A moins B ici. Donc ça c'est vraiment dès qu'on a des racines dans un problème, des sommes ou des différences de racines, il faut penser à ce qu'on appelle méthode de la quantité conjuguée qui est la deuxième ligne que je vous ai mise là. C'est ce qu'on va faire ici. Ici on vous dit, montrez que pour une suite arithmétique de réel strictement positif, on a tout ça, cette grosse somme, égal à ce truc là. Bon, je vais écrire un terme quelconque de cette somme. Je vais regarder, enfin je vais prendre celui-ci si vous voulez, je vais regarder ce que ça donne quand je réécris un peu quelconque. Je vais écrire soit A0 est donné, ok. R tel que A n égale A0 plus n fois R et A n plus 1 égale A0 plus n plus 1 fois R. Quand j'ai la racine 1 sur racine de A n plus racine de A n plus 1, je vais la transformer en multipliant en haut et en bas par racine de A n moins racine de A n plus 1. Ou d'ailleurs plutôt racine de A n plus 1 moins racine de A n. Je multiplie également en bas par cette même quantité et j'obtiens cet effet ici. J'aurai racine de A n plus racine de A n plus 1 fois racine de A n moins racine de A n plus 1 égale à la différence des deux nombres. Donc ça fait A n plus 1 moins A n. Or, A n étant vraiment très spécifique ici, c'est une suite arithmétique. Je sais que la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut R. On peut le vérifier juste avec ça, mais c'est la définition d'une suite arithmétique. J'obtiens racine de A n plus 1 moins racine de A n le tout sur R. Là ce que ça veut dire, si j'appelle cette somme ici S, et que je me rends compte en appliquant ça partout que j'ai S égale 1 sur R facteur 2 racine de A1 moins racine de A0 pour le premier terme. Ça devient racine de A1 moins racine de A0 sur R. Le R je le mets devant en facteur. Plus le second racine de A2 moins racine de A1 plus le troisième racine de A3 moins racine de A2. Une petite parenthèse si vous voulez, juste pour illustrer d'où vient le terme. Plus trois petits points, plus racine de A n plus 1 moins racine de A n. Comme ça. Avec encore des petites parenthèses si vous voulez. Alors là c'est très moche, mais vous avez compris l'idée. Le dernier terme à la fin. Et là en observant déjà ce que j'ai écrit, peut-être que vous commencez à comprendre ce qu'il se passe. Ici je vais avoir un effet qu'on appelle un effet de télescopage. En fait il y a plein de termes qui vont être en commun. Donc j'ai racine de A1 moins racine de A1. Et qui vont dégager. Plus, moins, plus, moins. J'ai racine de A0 qui est tout seul malheureusement, donc il va rester. Racine de A2 moins racine de A2. Racine de A3 va dégager ici. Ils vont tous se faire dégager. Sauf ceux qui sont aux extrémités, les plus gros et les plus faibles. Donc moins racine de A n ici va dégager. Il va me rester égale 1 sur R facteur 2 racine de A n plus 1 moins racine de A0. Donc là je suis très proche parce que j'ai bien simplifié le résultat. Je ne suis pas encore exactement ici mais je ne suis pas très loin. Maintenant je vais revenir à une racine en dessous. Bon ben je multiplie ma fraction en haut et en bas par racine de A n plus 1 plus racine de A0. Ce qui fait donc en haut A n plus 1, parce que je le fais complètement au moins une fois, moins racine de A0 sur R. Donc c'est ce qu'on a au départ. Fois en haut et en bas racine de A n plus 1 plus racine de A0 divisé par racine de A n plus 1 plus racine de A0. Je vais multiplier en bas et en haut par la même chose. Donc c'est très bien. Ça va me faire en haut une identité remarquable à nouveau. Oups, je voulais faire le laser. Une identité remarquable qui va me donner égale A n plus 1 moins A0 divisé par R racine de A n plus 1 plus racine de A0. Or A n plus 1 égale A0 plus n plus 1 R. Ça on l'a déjà écrit tout à l'heure. Donc je peux remplacer A n plus 1 moins A0 par n plus 1 fois R. Et donc ça me donne égale n plus 1 fois R divisé par R racine de A n plus 1 plus racine de A0. Tout simplifie, les R dégagent. J'ai fini la démonstration. C'est un peu long vous allez vous dire mais comment j'aurais pu penser à tout ça? Pour voir cet exercice comme un contexte, dans le contexte, on maîtrise la technique de la quantité conjugée. Si ça devient une technique qui est maîtrisée, je vous conseille de la comprendre et bien de la maîtriser. C'est-à-dire cette technique que vous avez dû vite fait voir en seconde ou première peut-être. Si elle devient maîtrisée et utile pour vous, alors c'est un peu la seule étape qu'il y a à faire et tout roule. En fait tout va couler de cette intuition. J'espère que ça vous a aidé. Je vous dis à la prochaine fois. Posez des questions si besoin. Et bon courage pour la suite.

Difficile : somme avec termes arithmétiques

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