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Ce cours aborde le sujet des suites définies de manière mélangée. Il présente deux suites, UN et VN, qui sont définies en fonction l'une de l'autre. L'objectif est de trouver des relations entre ces suites afin de résoudre le problème. Le professeur utilise des techniques mathématiques telles que les identités remarquables pour simplifier les expressions. Il introduit également le concept de suite constante et explique comment utiliser des relations linéaires pour résoudre le problème. L'idée principale est de développer des intuitions mathématiques et des méthodes de résolution pour réussir en mathématiques. La transcription de la vidéo est adaptée pour optimiser le référencement SEO.

Encore une fois, un des exercices pour aller toujours plus loin, cette fois-ci sur des suites définies de manière un peu mélangée. C'est-à-dire qu'on a deux suites à la fois, UN et VN, et elles sont définies l'une en fonction des deux autres. C'est-à-dire que UN plus UN est définie en fonction de UN et de VN, et VN plus UN de la même manière, donc de manière assez symétrique. Là, encore une fois, on touche à un des exercices qui est du niveau maths sub, pas dans le contenu, parce qu'on va utiliser uniquement le programme de seconde première, mais dans la demande d'initiatives. Donc moi je vous fais ces exos principalement pour que vous compreniez ce que c'est faire des maths et prendre des initiatives, ce qu'on va attendre de vous dans le supérieur quand vous ferez des maths. Donc c'est censé être plaisant si vous aimez un peu ça, ou alors si c'est flippant, je l'espère les désécraliser et vous les rendre un peu plus accessibles. Dans ce genre d'exercice, la démarche, on est un peu paumé en voyant ça, c'est de repérer des choses connues. Alors là vous allez me dire, tu vas chercher loin, mais je vous explique un peu, c'est la démarche en général des maths, il faut aller chercher des liens ténus dans votre tête sur les choses que vous connaissez et se dire ça ressemble un peu à ça. Ici j'ai du UN carré, VN carré, du UN plus VN. Tout ça, c'est le langage, si je le transforme en quelque chose de plus simple, c'est le langage du A carré, B carré. A plus B. C'est un peu le langage des identités remarquables. Donc, identités remarquables, qu'est-ce que je peux faire ? J'ai envie de jouer. Vu qu'elles sont un peu mélangées, il faudrait que je trouve des expressions, que je trouve des choses, des manières de lier ces deux relations, telles que je passe à parler peut-être des identités remarquables. Alors moi c'est l'habitude qu'ils parlent parce que vous verrez si vous passez par la moulinette de la prépa maths, vous aurez des petits réflexes qui vont se développer, mon but c'est de vous aider à les développer très tôt, plus tôt vous les développez, plus vous aurez de facilité, moins vous aurez de blocage en maths. Là l'idée c'est vraiment de se dire, donc ça je veux dire, si je fais la première écriture moins la seconde, ça va m'aider tout de suite, parce que je vois qu'ils ont un dénominateur commun, le dénominateur UN plus VN est le même, à faire apparaître une identité remarquable. J'obtiens ça, tout de suite, j'écris ça. C'est en fait égal à, en haut, UN moins VN fois UN plus VN, ça simplifie avec le UN plus VN qui est en dessous, égal UN moins VN. Et ça c'est un résultat incroyable, parce que si j'appelle, je ne sais pas, je ne sais rien moi, PN plus 1, cette suite, si vous voulez, attendez je vais décaler un peu le tout sinon on ne voit rien, si j'appelle ça PN plus 1, si j'appelle ça PN plus 1, je me rends compte qu'en fait j'ai trouvé une suite PN plus 1 qui vaut PN. En fait chaque terme est égal au suivant, et donc ça c'est la définition même d'une suite constante, le fait d'avoir UN plus 1 moins VN plus 1, qu'on peut voir comme une suite PN plus 1 si vous voulez, qui est égale à UN VN, donc j'ai une suite qui est bien égale, un terme égal au consécutif, c'est à dire que je peux dire que c'est égal à PN moins 1, PN moins 2, PN moins 3, PN moins 10, j'arrive au début, P4, P3, P2, P1, P0, en fait cette suite est toujours égale à la même chose. Et donc je peux écrire pour toute N, UN moins VN égale une constante qui est U0 moins V0. Et pourquoi je fais ça ? Parce que je trouve une relation, et l'idée c'est qu'on ne va pas résoudre comme ça ces suites, on ne va pas se dire tiens, c'est une 3 puissance N, on va essayer de trouver des relations, et peut-être de résoudre un petit système de relations linéaires, si on peut ce serait idéal, qui nous permettra d'accéder à ces suites. Donc par exemple là c'est une première relation très simple, vu que ça c'est une constante, ça vaut genre 3, ça se trouve on s'en fiche, c'est juste U0 V0, là j'ai quand même une relation très simple entre UN et VN, j'ai UN égale une constante, ce truc là, plus VN. Donc les deux sont liés de manière très simple. Si j'arrive maintenant à trouver une autre équation, je vais pouvoir résoudre sans trop de problèmes. L'idée ça va être quoi ? Il faut essayer de voir un peu les expressions ici, et de faire un peu quelque chose qui nous aide. J'ai fait la différence des deux. La somme des deux, malheureusement ça me fera du UN² plus VN², je ne sais pas trop quoi faire avec ça. Parce que UN² plus VN² malheureusement ce n'est pas une identité remarquable, c'est juste une somme de carrés, je ne sais pas quoi faire avec. Ça pourrait être quelque chose auquel vous pensez. Ce n'est pas faux de l'écrire, mais ensuite on bloque pas mal. Ce que je peux faire, vu que j'ai le même dénominateur, ce qui me vient à l'esprit, c'est de faire une division. Alors si j'essaie de vous dire, vous essayez de me dire en fait je me sors du chapeau, l'idée c'est d'essayer de voir ce qui peut être possible et intéressant. Moi je ne l'ai pas trouvé tout de suite, j'ai voulu faire la somme. Vu que j'ai fait la différence, je me suis dit tiens je vais faire la somme maintenant. Et donc j'ai bloqué. Je me suis dit maintenant même dénominateur, peut-être que si je fais la différence il y a des trucs qui vont dégager. Et en effet, quand vous faites ça, ça va faire un² sur vn². Parce qu'en fait, quand vous faites la division des fractions, il y a un plus vn qui est commun et qui dégage. Mais ça, ça fait quoi ? Ça fait un sur vn². Et donc si j'appelle ce ratio, typiquement j'en ai un petit nom, je vais l'appeler qn plus 1 égal. Je me rends compte que qn plus 1 égal qn². Alors ça c'est intéressant. Parce que si à chaque fois que je passe d'un terme à celui d'avant, en me mettant au carré, en fait je vais avoir qn. Et si je parle de qn, c'est qn-1². C'est qn-2². Donc il y a ce carré ici, qui ne bouge pas. Et ensuite qn-1, c'est celui d'avant au carré. On a dit qu'on passait d'un terme à l'autre, en mettant au carré le terme d'avant. Là je pourrais continuer, donc ça c'est qn-2². Et si je continue, c'est qn-3²2², égal qn-3²³. Puisque je mets au carré systématiquement, je commence à comprendre qu'en fait, je vais arriver au bout. Je vais arriver au bout et je vais mettre en puissance, je vais avoir des puissances de 2 en fait. Je vais avoir puissance 2, puis puissance 4, puis puissance 8. Donc en fait j'ai des puissances de mon q, q2, q3, qn, ce que vous voulez, qui sont des puissances de 2. Donc c'est une puissance de puissance, un peu moche, mais si vous l'écrivez rapidement, vous vous rendez compte que je vais arriver à la fin avec q0, puissance 2, puissance n. Là j'avais qn-3, 2 puissance 3, et quand j'arrive à n-n si vous voulez, 0 c'est n-n, je suis dans des sens u vraiment très loin, j'ai 2 puissance n ici. Et donc c'est assez simple, ça veut dire que j'obtiens, enfin c'est simple, non c'est pas simple, c'est un peu bizarre comme écriture, mais ça me fait un lien entre les deux qui est quand même pas non plus impossible. Puissance n. Et donc avec ça je vais m'en sortir parce que je peux trouver donc, j'ai deux relations, j'ai d'un côté cette relation là, un-vn égal u0-v0, de l'autre un sur vn égal u0 sur v0, puissance de puissance n. Et donc j'obtiens, en remplaçant un dans la relation là-haut, j'obtiens vn fois u0 sur v0, puissance de puissance n, égal, j'ai remplacé un ici, donc c'est pas égal, c'est moins vn, excusez-moi, moins vn égale u0 moins v0. Je fais ça en mettant l'expression de un que je viens de trouver dans cette relation là. Et donc je trouve, en factorisant vn, facteur de u0 sur v0, puissance de puissance n, moins 1, égale u0 moins v0. Au final, ça me fait une expression, fini, explicite de vn. C'est un peu laid mais, l'expression étant u0 moins v0 divisé par, une puissance énorme, deux puissances n en puissance, ça va super vite. On arrive très vite à des puissances gigantesques. J'obtiens vn égale ça. Et si vous voulez trouver un, rappelez-vous que, un c'est u0 moins v0, je vais tout recopier, mais un c'est u0 moins v0, plus vn. Vous faites juste ce truc là, plus u0 moins v0, c'est la même chose. Voilà l'expression finale. C'est bizarre, mais je voulais vous montrer les intuitions qu'on attend de vous, au niveau sup, là c'est vraiment du programme de première, de la réflexion de sup, les choses qui peuvent te tenter. Quand on vous commence à faire des exercices à intuition, au niveau de mathématiques difficiles à cause des intuitions, je vais vous donner des pistes, vous montrer des exemples, l'idée c'est pas de les trouver, enfin c'est bien si vous les trouvez, mais l'idée c'est de les accumuler, de les comprendre, et à force de voir un peu ce que sont ces intuitions qui peuvent arriver de temps en temps, et commencer à les apprendre pour pouvoir les réutiliser potentiellement plus tard. Donc ne le prenez pas comme, punaise je suis nul, je ne comprends rien, j'aurais jamais trouvé ça tout seul. Moi à votre époque, enfin à votre âge je veux dire, j'ai jamais trouvé seul ces trucs là. Par contre, les voir, commencer à comprendre, et en fait enregistrer ça, commencer à apprendre ces méthodes là, retenir qu'il y a ce genre de méthodes qui sont possibles, prendre des différences, prendre des quotients, enfin il y a deux suites mélangées, vous retenez ce principe, la première fois que ça tombera, vous y penserez un peu plus. C'est plus ça qu'il faut accumuler au cours du temps, plutôt que de se dire je devrais être un génie et y arriver, non. C'est pas le but. Le but c'est pas de trouver, c'est de comprendre, d'accumuler, et de savoir refaire pour au final avoir une dizaine, vingtaine de méthodes qui sont prêtes à être déclenchées quand vous voyez des nouveaux exemples. Sur ce, ça fait déjà une longue vidéo, je vous laisse ici, et je vous dis à la prochaine. Bye bye ! Sous-titres réalisés para la communauté d'Amara.org

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