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Dans cette vidéo, l'objectif est de déterminer les suites géométriques qui vérifient la relation suivante : UN+2 - UN+1 = (U0 * Q^N+1) - (U0 * Q^N). On utilise la notation UN qui est égal à U0 * Q^N pour écrire une suite géométrique en général. Après avoir simplifié l'équation, on trouve que les suites géométriques de raison 1 ou de raison 1/2 vérifient cette relation. Si Q appartient à R étoile et U0 appartient à R étoile, alors on peut trouver des solutions non triviales.

Un autre exercice qui demande un peu de réflexion mais qui va être un peu plus rapide à résoudre. Je pense plus accessible, peut-être moins de longues étapes d'intuition que certains autres exercices que je vous ai montré dans la section des exercices pour aller plus loin. Là on va suivre un peu l'énoncé, essayer de se laisser guider ou essayer de voir comment nous, si on suit un peu ce qu'on nous donne, comment nous on peut s'auto-guider vers la solution assez rapidement. Déterminer les suites géométriques UN. Déjà j'écris UN va être égal U0 fois Q puissance N pour Q, un réel quelconque. On veut des suites géométriques telles que, il faut vérifier la relation suivante. Si UN égale ça, alors ma relation ça va donner quoi? UN plus 2 moins UN plus 1, je remplace. Je vais faire ça en deux couleurs, je fais ça en vert. Et l'autre en rouge, je vais remplacer les deux. UN plus 2 moins UN plus 1, ça sera U0 UN plus 2 moins U0 Q puissance N plus 1. Factor 2, 2 U0 Q puissance N plus 1 moins U0 Q puissance N égale 0. On a dit en vert et en rouge, ça c'était l'élément vert et ça c'est l'élément qui était en rouge. J'ai juste remplacé par l'écriture typique qui est dans le programme, de ce qu'est une suite géométrique en général. Maintenant, travail de factorisation. Je me rends compte dans le terme en vert et en rouge qu'il y a des choses que je peux mettre devant la parenthèse, qui sont communes. Donc ça va me faire U0 Q puissance N plus 1 fois Q moins 1 fois U0 Q puissance N qui se met devant fois 2Q moins 1 égale 0. C'est assez simple. Quand est-ce que ça va être vrai que ça c'est égal à 0? Soit U0 égale 0, mais là ça n'a aucun intérêt parce que depuis le début je parle juste de la suite nulle. Donc oui, la suite nulle vérifie bien cette relation. Si on suppose que Q appartient à R étoile et U0 appartient aussi à R étoile, c'est-à-dire qu'ils sont non nulles tous les deux, je trouve des solutions non triviales. Je me rends compte que je peux donc simplifier par U0, U0 je vire, QN plus 1, QN je vire, et j'obtiens juste quelles sont les solutions possibles de Q égale 1 ou de Q moins 1 égale 0, soit Q égale 1 demi. Donc toute suite géométrique de raison 1 ou 1 demi va vérifier cette relation. C'est assez direct, c'est un peu un exercice avancé vu la proposition, vu le genre de trucs qu'on vous donne, mais en soi pas très compliqué. Mettez vos questions en commentaire si nécessaire et je vous dis à la prochaine vidéo.

Suite géométrique inconnue

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