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Suites Numériques

Ce cours présente un exercice mathématique qui consiste à étudier la convergence d'une suite. On observe une série de termes allant de 1 à n, dans laquelle seul le numérateur varie. L'objectif est de mettre tous les termes au même dénominateur afin de faciliter l'étude de la convergence. En effectuant des simplifications successives, on obtient finalement que la suite converge vers 1/2. L'auteur insiste sur l'importance de ne pas se décourager devant un exercice complexe et encourage les étudiants à avancer étape par étape en explorant les chemins les plus simples. Il souligne également qu'il est normal de ne pas trouver immédiatement la solution et que la confiance en soi est primordiale pour résoudre les exercices. L'objectif est d'utiliser les connaissances acquises et de suivre les étapes pour arriver à une conclusion.

Un joli exercice qui va vous faire chercher un petit peu, vous faire utiliser ce que vous avez appris sur les suites et le mettre dans un contexte un peu nouveau, ou en tout cas dans une expression qui est un peu moche et que vous n'allez peut-être pas rencontrer dans les exercices les plus simples. Alors on a ici un égale. On a une somme où on voit que les termes varient ici. On a les termes 1, 2, 3 jusqu'à n. Ce qu'il faut remarquer c'est que ça varie au numérateur, mais ça ne varie pas au dénominateur, pas du tout. Donc en fait je vais mettre tout au même dénominateur et je me rends compte qu'en haut j'ai 1, 2, 3, n divisé par n². Donc on vous dit, étudiez la convergence éventuelle. Ça c'est limite programme, on évoque la convergence des suites en première bien sûr. Convergence ça peut faire flipper. En fait il faut juste écrire et, moi c'est encore un exemple de comment votre cerveau doit fonctionner étape par étape, il faut tilter à chaque fois. J'écris, je vois, première étape de tiltage, même dénominateur. C'est la première étape, même dénominateur. Dénominateur commun si vous voulez. Ça c'est le premier tiltage. Deuxième tiltage c'est quoi ? La somme de 1 à n. Ça c'est dans le cours. Je connais. Et en fait c'est comme ça, en faisant des petits tiltages, en apprenant à réagir à des stimuli, si vous voulez, vous voyez des choses, hop c'est bon je peux avancer. Le plus grand danger quand vous êtes dans des exos plus compliqués, c'est de se dire, dès le début je comprends pas, c'est moche, ça m'impressionne vachement, je bloque, j'arrête, j'arrive pas à voir le résultat. J'arrive pas à voir à l'avance les 7 étapes, donc je me bloque. Ça c'est se mettre comme comparaison à vous-même, un niveau génial de mathématicien. Ça sert à rien, c'est se faire du mal. L'idée c'est plus de se dire, bon attends stop, qu'est-ce que je peux faire ? Et je décide que je peux plus rien faire et je me bloque, uniquement quand j'ai exploré tous les chemins les plus simples et ceux que je peux déjà faire. Premier chemin simple, même dénominateur. On verra bien où ça m'amène, il y a l'idée un peu que vous allez dans l'inconnu, mais que ça va s'arranger. Souvent quand je fais des exos, soit je les connais déjà, soit je les fais un peu en direct, et je sais, le but pour moi c'est de gagner cette confiance que ça va aller, je sais pas exactement où ça va finir, mais au fur et à mesure, je sais qu'en déroulant les étapes, je vais aboutir à une conclusion. Donc ici je remplace tout de suite par nn plus 1 divisé par 2, le tout sur n². Donc un égale, je vais mettre 1 sur 2 n² devant, fois n, fois n plus 1, si vous voulez. Vous voyez, il y a des trucs qui s'impliquent. En soit, il y a un n qui dégage, le carré qui s'en va. Donc ça fait 1 demi de n plus 1 sur n. Ça je peux séparer la fraction en deux, ça fait 1 demi de 1 plus 1 sur n. Pourquoi ? Parce que j'ai juste séparé ici la fraction en deux morceaux. La convergence c'est quoi ? Ici c'est un des rares trucs que vous savez, je pense, sur la convergence, c'est qu'en fait, 1 sur n, quand n tend vers plus l'infini, quand n devient immensément grand, n sur 1 sur un milliard de milliards de milliards, ça tend vers 0. Donc logiquement, on comprend que un converge, on fait une flèche comme ça en disant quand n devient plus l'infini, vers 1 demi fois 1 plus 0, 1 demi. Convergence étudiée, convergence résolue, ça converge vers 1 demi. On n'aura peut-être pas cru a priori en voyant ce truc moche, moi quand j'ai vu ça, je n'ai pas pris le but, je fais des maths depuis longtemps quand même, de niveau lycée, prépa, tout ça, j'ai vu cet exo, je ne me suis pas dit je reconnais, c'est 1 demi. Je n'ai pas tout de suite les étapes qui se déroulent. Donc c'est pour vous dire, ce n'est pas ça le but. Il ne faut pas se dire, tant que je ne vois pas la réponse en regardant l'exercice, je ne suis pas bon. Il faut se dire, j'y vais à tâtons, j'y vais doucement, je repère des étapes une par une, ok, manœuvreur, je repère ça et ça se déroule tout seul. Il ne faut pas se bloquer en mode, si je n'arrive pas à avoir la solution directe, c'est que je suis nul ou que je n'ai pas compris. Non, non, c'est normal. Avancez, essayez de faire ce que vous reconnaissez, humblement, et ensuite, normalement, les exercices sont faits de telle sorte que si vous maîtrisez parfaitement votre cours, ce qui n'est pas simple déjà, vous arrivez à la réponse assez vite. J'espère que ça vous a bien aidé, écrivez-moi s'il y a besoin dans les commentaires, et je vous dis à une prochaine.

Convergence d'une somme de termes

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