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Convexité

Le cours aborde différents paramètres (A, B, C, D) et propose une démonstration générale sur les fonctions x³. Il met en évidence l'intuition graphique selon laquelle une fonction x³ avec un coefficient positif est concave, tandis qu'une fonction avec un coefficient négatif est convexe. Pour étudier la convexité de la fonction f, il faut analyser le signe de f prime prime, qui dépend de la valeur de A. Si A est positif, la fonction est concave, alors que si A est négatif, elle est convexe. Une erreur courante est de ne pas distinguer les différents cas. L'exercice demande également d'appliquer ce résultat à un exemple spécifique.

Cet exercice est intéressant parce qu'il a plusieurs paramètres A, B, C, D et qu'il essaie de vous montrer un résultat général sur les fonctions x³. C'est intéressant. C'est un exo qui est plus dur que la moyenne, ce n'est pas un exo de base, mais qui essaie un peu de généraliser des résultats qui pourraient être intuitifs. On pourrait se dire que je comprends que quand une fonction x³, par exemple, a un coefficient positif, elle monte jusqu'à plus infini en plus infini, ça veut dire que je comprends à peu près quand est-ce qu'elle va être concave ou convexe. De même, si je parle d'un truc comme ça, ça serait une fonction x³ avec un A positif, j'ai aussi l'intuition que si A est négatif, on va partir plutôt en moins infini au départ, en plus infini ou en moins infini, je veux dire, et avoir un truc comme ça. Cette intuition un peu graphique, générique, que vous pouvez voir, c'était très moche, mais c'est cette dessin-là, on va juste la démontrer ici, donc c'est intéressant. On va regarder, petit 1, discuter selon les valeurs de A de la convexité de la fonction f. Très bien, on calcule, f seconde, pour toutes x² R, f prime de x, j'ai déjà rédigé proprement, si vous n'écrivez pas ça, vous pouvez vous prendre moins 1. Alors là, on voit que, nous, ce qui nous intéresse, en gros, c'est la convexité. Quelle est la convexité de la fonction f ? Ça veut dire qu'il faut répondre à quand est-ce que f est convexe, quand est-ce que f est concave. Et pour ça, on voit que c'est le signe de f prime prime qui va tout décider, et on voit que le signe de f prime prime va dépendre quand même de la valeur de A, parce que si A x plus 2B, c'est une fonction affine, une fonction affine, je vous le rappelle, si la pente est positive, ça ressemble à ça. Donc c'est d'abord négatif, ici, puis positif. Mais si la pente est négative, alors ma fonction affine va ressembler à ça. Et dans ce cas-là, elle sera d'abord positive, elle passe à 0 ici, puis négative. Donc en gros, il y aura deux cas de convexité-concavité différents. On écrit A positif pour montrer qu'on a bien pensé au fait que A est positif, donc je peux diviser par A de chaque côté. Donc, conclusion, dans ce cas-là où A est positif, maintenant je fais le second cas, si A est négatif, et on voit que ça va être exactement la même chose, mais dans l'autre sens. F seconde, cette fois-ci, est positive strict. Si et seulement si, 3A x est plus grand strict que le moins de B, ça, ça ne change pas. Pour l'instant, le signe de A n'a aucun impact sur ce que j'ai fait ici. Et on fait attention, on écrit ici A est négatif, donc quand je divise par A, je change le sens de l'inégalité. Donc si et seulement si, x, je pense que c'est là que les aléas vont se faire piéger, potentiellement. Voilà. Donc ça, c'est l'étude de la convexité. Je l'ai fait en détail parce que je voulais vraiment insister sur une erreur qui va arriver très vite, c'est la non-distinction des cas. On vous le dit, en plus. Ils sont assez chouettes parce qu'ils vous disent... Enfin, ils sont chouettes. Les exercices vous aident, quoi. Discutez selon les valeurs de A, tout de suite, ça, c'est un warning dans votre tête de attention, il va y avoir une douille, selon les valeurs de A, je vais peut-être me faire avoir, etc. Donc l'idée, c'est comme on vous dit, discutez selon A, il faut quand même que vous soyez assez percutant et que vous vous disiez tout de suite, mais pourquoi, ou en tout cas, où est-ce que ce A va intervenir ? Qu'est-ce que j'en ai à faire du signe de A, et qu'est-ce qui va changer et à quelle étape du calcul ? Ça, c'est pas simple, donc il faut faire attention. Je vous conseille de faire un truc assez propre, bien structuré pour bien détecter le problème potentiel. Si vous arrivez à la fin ici, ce qui est très possible en fait, une manière de détecter votre valeur, c'est que si vous arrivez à la fin de ce calcul ici, et que vous n'avez pas changé le signe, et que vous trouvez juste ça, et que vous trouvez ici la même chose, on va vous dire que c'est bizarre, parce qu'on vous a fait faire des cas, on vous dit discutez selon A, et apparemment, quel que soit le signe de A, on trouve le même résultat. Ça peut être aussi un petit mécanisme d'autocontrôle pour se dire, il y a moyen que j'ai manqué un truc, il y a moyen que j'ai raté quelque chose. Montrer que quel que soit le signe de A, la courbe admet un point d'inflexion d'ab6-b sur 3a, ça c'est fait en fait. Honnêtement, ça on l'a fait. Donc petit 2. Par définition, un point d'inflexion, c'est un point où la courbe change de convexité. La dernière question, appliquer ce résultat à ce truc-là. En fait, on peut le faire directement, on pourrait le redémontrer, mais si on le redémonte, ça serait faire deux fois le travail, je ne vais pas recalculer f' et f'' alors que cette fonction rentre dans le cas global qui est ici. Je vais pouvoir juste appliquer le résultat, c'est-à-dire j'ai f égale ça, on a un point d'inflexion. Vous vous rappelez ce que c'est a, b, etc. Donc ça c'est a, b, c, d. On pourrait le vérifier en double dérivant, mais c'est ça qu'on démontre. Parfait pour cet exercice.

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