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Fonctions et Limites

Le cours est une transcription d'une vidéo sur l'étude de fonctions. Il s'agit d'un exercice classique où l'on donne deux fonctions et on nous demande d'étudier ces fonctions.

On commence par calculer F et G. G doit être défini sur R plus étoile car il y a un log dans son expression. F n'a pas de problème de définition, mais le log pose une contrainte de positivité.

Ensuite, on calcule les limites de G aux bornes de son ensemble de définition. On obtient un tableau de variations pour G.

On étudie ensuite F en calculant ses limites aux bornes de son ensemble de définition. On obtient également un tableau de variations pour F, en utilisant la dérivée de F.

Enfin, on trouve la valeur de la solution de l'équation G(x) = 0 en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires. On conclut en dressant le tableau de variations complet de F.

La vidéo se termine en calculant les limites de F aux bornes de son ensemble de définition et en dressant le tableau de variations de F.

Un exercice là où, c'est encore un grand classique, on vous donne deux fonctions et on vous fait étudier les fonctions. C'est un classique de structure d'exercice. Pourquoi ? Parce qu'en fait souvent quand on vous donne deux fonctions, on va se rendre compte en dérivant une que comme par hasard, l'expression de la dérivée va valoir l'expression qu'elle a. Donc vu qu'ici on me donne G, j'étudie G, etc. Calculer F et l'étudier, je sens, avec le type d'exercice, après il faut un peu d'expérience, mais avec le type d'exercice qu'on peut voir souvent dans les études de fonctions qu'il y a au bac, je sens que F' il y aura du G dedans. Donc on peut le faire. Petit a, petit a. G doit être défini sur R plus étoile, en effet, parce que je ne veux que des X positifs vu qu'il y a un log. Et F, voilà, il n'y a pas de problème en bas, il n'y a que le log qui pose problème, il faut donc des nombres positifs stricts. Calculer les limites de G aux bornes de l'ensemble de définition, on dresse le tableau. Très bien. L'ensemble de définition c'est donc sur... Bon, c'est 0 plus infini, donc je n'ai pas besoin de le réécrire. Je vais vous dire en 0, on va commencer comme ça. Donc ça c'est facile, c'est la première partie de G. Ensuite, X carré. Donc ça c'est une formule de cours à connaître par cœur. Donc là vous avez, si vous voulez, X fois X log de X. Mais bon, c'est X, ça tend vers 0, donc c'est rien en même. Et donc c'est parfait parce qu'on a donc ce machin, le début qui tend vers 1. Donc 1 plus 0, moins 0. Je peux dire que... On est sur un 0 plus. C'est-à-dire, vu que c'est R plus étoile, on part vers la droite des réels. Donc on part, on s'approche de 0 par le côté droit. Très bien, 1 plus infini. Alors là, a priori, je vais faire en deux étapes, en 0. L'autre côté de l'ensemble de définition, c'est plus l'infini. A priori, on a une forme indéterminée. Parce qu'on a du 1 plus X2 qui tend vers plus l'infini. Et du moins log de X qui tend vers moins l'infini. Dans ces cas-là, il faut essayer de dépatouiller un peu le tout. L'idée là, ça va être de factoriser. Donc c'est assez simple. Je ne vais pas rédiger vraiment quand vous avez X carré qui lui tend vers plus l'infini. 1 moins 2 log de X, ça tend vers moins l'infini. C'est le produit de plus l'infini et de moins l'infini. C'est moins l'infini. Après, c'est tableau de variation. Très bien. On peut dire, j'ai dérivable sur son ensemble de définition. En effet, c'est une somme de deux fonctions dérivables. Cette fonction-là et cette fonction-là. Donc j'ai dérivable sur R plus étoile. Alors, 1 plus X2, c'est 2X. Et ensuite ça, c'est un U prime V plus V prime U. Donc ça, il faut essayer de le faire. Normalement, maintenant arrivé là, entraînez-vous à le faire vite. Un peu de tête. Donc U prime V plus V prime U. U prime V, ça va faire 4X log de X. Donc moins 4X log de X. Donc la dérivée de 2X2, c'est 4X fois l'autre. Et vu qu'il y a un moins, c'est encore un autre moins. Moins la dérivée de log de X fois 2X2. Donc moins 2X2 divisé par X. Moins 2X. Voilà, c'est parfait. En fait, moins 4X, on est sur R plus étoile. Donc moins 4X, ça là, c'est toujours négatif. Log de X, ça va dépendre si on est au-dessus ou en dessous de 1. Donc tout bêtement, log de X, je le mets ici. Et donc G prime de X. On multiplie ce log de X par quelque chose de négatif tout le temps, ça inverse les signes. Je suis encore en 0, ça c'est pas défini. Hop, ni le log, ni G prime. Ça me permet de tracer tout de suite la fonction. De voir à peu près les variations de la fonction. Qui sont... Bah, ça monte. X est plus. Et ça descend. Ça c'est la fonction G qui monte. Et qui descend. En 0 plus, on a vu qu'elle valait 1. En plus infini, elle valait moins infini. En 1, on pourrait calculer la valeur maximale qui est ici. Et dire, bah ça fait... 1 plus 1, 2. Moins 2 fois 1 fois log de 1, ça fait 0. Donc ça fait 2. On demandait de dresser le tableau de variation. C'est fait. On traque l'équation G de X égale 0, on met une unique solution. Très bien. Ça c'est donc, unique solution. Le... C'est assez classique cette fois-ci de... Comment ça s'appelle ? De continuité. Donc on va utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. On voit que... On va le faire en deux temps, mais sur... 0, 1. Donc c'est-à-dire sur cet intervalle-là. Ici. G de X est supérieur ou égal à 1. Supérieur strict à 0. Bah dans ce cas, il n'y a pas moyen d'être égal à 0. Cette fois-ci, G de X appartient à... Moins l'infini jusqu'à 2. Soit elle monte jusqu'à 2... Enfin, elle descend très bas. Elle part de 2, elle descend très bas. Donc elle est entre moins l'infini et 2. Je vais mettre 3 hypothèses. 0 appartient bien à moins l'infini... 2. Donc à l'intervalle... Ici, là. On a bien 0 quelque part entre les deux. Et... G décroissante sur... Moins l'infini 2. Alors... D'après... On appelle ça le théorème des valeurs intermédiaires... Dans un cas de monotonie stricte. Alors ça dépend des profs. On peut aussi l'appeler le théorème... De la bijection. Il y a un unique alpha tel que... F de alpha... Égal 0. Bon voilà, il vous faut absolument ça. G est continu. Hypothèse 1. 0 est bien entre les valeurs extrêmes de l'intervalle. On est bien entre moins l'infini et 2. Très bien. G est strictement décroissante. Très bien. Quand on a ces 3 là... Boum, le TPI. C'est fini. Toujours la même rédaction. Donc là, c'était un petit rappel depuis le chapitre sur la continuité. Il y a un unique alpha, etc. Alors, deuxième question. Calculez les limites de F aux bornes de l'ensemble de définition... Et dressez le tableau de variation. Ok. Donc F, c'est ça. Les limites aux bornes, on n'a pas le choix. Petit 2. En 0. On est parti. Alors, on a du log de X divisé par du X carré. Ce qu'il faut connaître ici, c'est le fait que log de X sur X tend vers 0 en plus d'infini. Ça, c'est la petite propriété de cour. Donc, a fortiori, pareil, si c'est divisé par X2, même chose. Je vais écrire ici log de X sur 1 plus X2. Alors, le 1, il ne me dérange pas, en fait, parce que... Vous verrez, on pourrait le dire dans le supérieur. Le 1, en fait, est un 1. Et le 2, c'est un 2. Vous verrez, on pourrait le dire dans le supérieur. Le 1, en fait, est négligeable dans X carré. Donc, c'est bon. Mais ici, on est encore en terminale. Donc, on est obligé de faire log de X divisé par X carré. Je mets X carré en facteur dans la fraction en bas. Comme ça, je fais apparaître X carré. Et là, il reste 1 divisé par X carré fois 1 plus 1 sur X2. Et on sait donc que ça, par le cours, ça tend vers 0 quand X tend vers plus d'infini. Et ça, ça tend vers 0 quand X tend vers plus d'infini. Donc, le tout, ce tout-là, tend vers 1 quand X tend vers plus d'infini. Donc, log de X sur 1 plus X2 tend vers 0. Parce que c'est ce truc-là qui l'emporte. Là, c'est fini, ça fait 1. Là, c'est 0. 0 fois 1, ça fait 0. Très bien. On nous dit ensuite. Les limites aux bornes, oui. Et dresser le tableau, c'est parti. F dérivable. Ouais, bon, c'est inconscient parce que c'est une division, quoi. Donc, en haut, on a le log qui est dérivable. Et en bas, on a 1 plus X2 qui est dérivable. C'est un polynôme du degré de V, il n'y a aucun problème. F dérivable. On a, quel que soit X, ça fait donc U'1 sur X fois 1 plus X2 U' fois V moins V'2X fois U log de X. Le tout divisé par V2. Donc, c'était 1 plus X2. 1 plus X2, le tout au carré. Et bien, je mets tout sur X en haut. Et donc, ça me fait 1 sur X. Pourquoi 2X2 ? Parce que je mets 1 sur X en facteur. Donc, celui-là, c'est ça. Et le tout divisé par 1 plus X2 au carré. Vous allez me dire, c'est horrible. En effet, c'est pas très beau, c'est pas très agréable. Mais ça, on reconnaît tout de suite. En tout cas, il faut y penser. On reconnaît la fonction G, comme par hasard. Pour ne pas le rater, le fait qu'on reconnaît ce truc-là, c'est bien de retenir que souvent, quand on vous donne deux fonctions dès le début, en général, et que la dernière question, c'est une étude d'une des deux, en général, l'étude préliminaire de G, enfin de l'autre fonction, c'est une étude préliminaire justement qu'on a, et c'est une étude en fait de la dérivée de F. Savoir que c'est un classique d'exercice fait qu'au moins, ça vous évite de galérer à repérer que ça, c'est G. Je pense qu'il y a pas mal d'élèves qui arrivent là-dessus, qui n'ont peut-être pas le recul, et qui vont recommencer à se dire, punaise, qu'est-ce que c'est que ce machin, il faut que je l'étudie, mais j'ai aucune idée du signe de la dérivée de F, je suis foutu parce que je ne connais pas ce truc-là. Alors qu'ils viennent de le faire. Donc c'est un peu... le truc à éviter, quoi. Et donc ça fait, si on écrit bien, G2X sur X fois 1 plus X2 au carré. Ça, c'est top, parce que G2X, on connaît son signe. Tout le truc en-dessous, là, hop, tout ça, c'est positif strict. C'est positif strict. G2X, on connaît son signe. Et donc, je peux écrire, le signe de F' c'est le signe de G, c'est la même chose. On a dit que G2X, qu'est-ce qu'il arrive à G2X, elle changeait de signe, elle était toujours positive avant alpha, parce que là, elle part de 1 jusqu'à 2, elle arrive en 0. À partir de alpha, elle était négative. Parfait, je vais donc mettre alpha ici, 0, positive avant, négative après, plus la fonction monte, moins elle descend. On peut compléter, on a dit, la limite de F, c'est moins l'infini, et la limite là, c'est 0. Donc moins l'infini, elle remonte jusqu'à 0. Et là, on a F2 alpha. Parfait, voilà le tableau de variation.

Un classique de BAC : étude de fonction en 2 temps

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