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Exponentielle

Dans ce cours, on démontre la propriété fondamentale de l'exponentiel, qui est exp de A plus B égale exp de A fois exp de B. Cette propriété ressemble à celle des fonctions de puissance. Pour démontrer cette propriété, on fixe une valeur pour B et on fait varier A pour étudier la fonction exp de A plus B divisé par exp de B. On cherche à montrer que cette fonction est égale à exp de A en montrant qu'elle vérifie les deux conditions qui définissent l'exponentiel : f' égale f et f2,0 égale 1. On utilise la fonction f2x égale exp de x plus b divisé par exp de b pour démontrer cette propriété. En vérifiant les deux conditions de définition de l'exponentiel pour cette fonction, on conclut que f2x est égale à exp de x. On peut alors déduire la propriété exponentielle en passant le exp de b de l'autre côté de l'équation. La méthode utilisée consiste à se rapporter à ce qu'on connaît sur l'exponentiel pour montrer d'autres choses, étant donné que l'on ne connaît que peu de choses sur cette fonction.

Pour cette méthode j'ai envie de revoir avec vous, de parcourir avec vous, la démonstration d'une propriété fondamentale de l'exponentiel qui est exp de A plus B égale exp de A fois exp de B. Ce que ça doit vous rappeler, ce que j'ai écrit ici, c'est qu'en fait ça ressemble à la propriété des fonctions de puissance, du genre puissance de 10 vu en troisième. Quand j'ai 10 puissance A plus B, c'est égale à 10 puissance A fois 10 puissance B. C'est un peu la même chose ici, de toute façon on voit à l'avenir dans le chapitre, vous l'avez vu en cours sûrement, que l'exponentiel est en fait une fonction de puissance. Donc ce qu'on se dit c'est j'ai envie de démontrer que ça c'est vrai. En général quand vous voulez démontrer, c'est une méthode assez classique en fait, qu'il y a une égalité pour deux réelles, vous en fixez un et vous faites varier l'autre pour pouvoir étudier une fonction. Donc ce qu'on va faire c'est qu'on va dire, bah attends, je vais fixer B, donc je vais dire que exp de B c'est constant maintenant. Je vais essayer de montrer que exp de A plus B divisé par exp de B, je vais étudier ce truc là, pour A qui varie si vous voulez, je vais montrer que quand A varie, ça vaut exp de A. C'est un peu l'idée, donc je vais essayer de montrer, parce que en gros ça, dans l'expression si je l'avais démontré, ça serait égal à exp de A. Donc l'idée c'est que là j'ai envie de le montrer que c'est égal à exp de A, donc je ne vais pas l'écrire tout de suite, donc je vais prendre ce ratio et me dire, bah attends, est-ce que ça peut être égal à exp de A? L'idée c'est que quand on fait cette démonstration on ne connait que très peu de choses, donc il faut absolument qu'on essaie de se rapporter à ce qu'on sait sur l'exponentiel qui est, je peux l'écrire ici en bleu, exp, une fonction f c'est égal à exp si et seulement si f' égale f, donc il faut qu'elle soit égale à sa dérivée, et f2,0 égale 1. Donc l'idée c'est qu'on pose ce ratio là, ce quotient, et on veut montrer que c'est égal à exp de A. Qu'est-ce qu'on va faire? On va montrer que cette chose, quand je la dérive, vaut elle-même, et quand je prends une valeur A égale 0, alors je retrouve 1. Si je vérifie ces deux-là, je pourrais bien dire qu'en effet elle vérifie les deux conditions qui définissent de manière unique l'exponentiel, c'est donc l'exponentiel. Voilà l'idée de la démonstration. Sauf que bon, ils se sont dit, les élèves, ils aiment bien quoi? Ils aiment bien les x, donc au lieu du A, ils vous mettent un x. Et donc c'est ce qu'on fait. On définit une fonction avec f2x égale exp de x plus b divisé par exp de b. On va essayer de montrer que c'est égal à exp de x. Je l'avais dit avec A, mais voilà, c'est un lien en même temps. Pour ce faire, vérifions que cette fonction vérifie bien les deux propriétés de définition de l'exponentiel. C'est-à-dire que voilà, si je vérifie ces deux propriétés pour une fonction, cette fonction est l'exponentiel par définition. Donc qu'est-ce qu'on fait? On la dérive d'abord, puis on calcule f2, donc on dérive, blablabla, et ça fait combien? x plus b divisé par exp de b, parfait, je retrouve f2x en dérivant, donc j'ai bien exprimé l'exponential f. Donc première condition, c'est fait, c'est bien vérifié. Deuxième condition, combien vaut f2o? J'espère trouver 1. f2o est égal à 1 sur exp de b fois l'exponentiel de 0 plus b, ça fait exp de b sur exp de b, ça fait 1. Parfait, deuxième condition, vérifier également. Donc ça c'est top, ça donne ça. Conclusion, cette fonction f que j'ai posée là, ici, est l'exponentiel. C'est la fonction exponentielle parce qu'elle vérifie les deux caractéristiques de cette fonction. Et donc je peux écrire que cette fonction est toujours égale pour toute x à exp de x. Donc ça c'est parfait, j'ai plus qu'à dire hop, le petit exp de b, je le passe de l'autre côté, et j'ai démontré e2x plus b égal e2x fois e2b. Parfait, ça démontre la propriété. Je trouvais qu'il y avait une certaine beauté à poser un truc et donc étudier la fonction de l'autre, c'est une belle méthode. Elle n'est pas toujours très bien comprise, je suis risolé d'un peu apprendre par cœur la démonstration en espérant que ça ne tombe pas au contrôle. J'espère que je vous ai aidé un peu à la comprendre et à mettre du contexte dessus. L'idée c'est vraiment, on ne connaît rien à ce moment là du cours sur l'exponentiel à part sa définition fondamentale. C'est donc à partir de ça, je vais tout faire pour tourner la démonstration, d'une manière où je peux utiliser cette définition fondamentale pour montrer d'autres choses. Il faut toujours se rapporter à ce qu'on connaît et comme on n'a pas encore démontré cette propriété là, c'est vrai qu'on ne connaît rien à part la définition fondamentale. On fait tout pour s'y rapporter, c'est la source de pourquoi est-ce qu'on pose ce truc là. Parce que des fois on veut se dire, mais pourquoi le prof pose ça? C'est quoi cette démonstration qui sort de nulle part? Elle ne sort pas de nulle part dans le sens qu'on n'a pas grand chose au départ donc on essaye de s'y rapporter. Faisez-moi des questions si besoin et je vous retrouve dans une vidéo prochaine. Bye bye.

Propriété fondamentale : démo

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