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Produit Scalaire

Le théorème d'Alkaci est une formule importante dans le chapitre du produit scalaire. Il permet de trouver la valeur exacte et unique du troisième côté d'un triangle lorsque l'on connaît les longueurs de deux côtés et l'angle entre eux. C'est une généralisation du théorème de Pythagore dans le cas d'un triangle qui n'est pas rectangle. La formule d'Alkaci est une version corrigée du théorème de Pythagore, qui inclut un terme correctif lié au produit scalaire. Lorsque l'angle entre les deux côtés est de 90 degrés, la formule d'Alkaci se réduit à celle de Pythagore. On peut donc l'utiliser pour vérifier si un triangle est rectangle. Dans un exercice, on applique la formule d'Alkaci pour trouver la longueur d'un côté d'un triangle connaissant les longueurs des deux autres côtés et l'angle entre eux. Après avoir effectué les calculs, on trouve une valeur pour le côté manquant. En résumé, le théorème d'Alkaci permet de trouver la valeur exacte d'un côté de triangle en utilisant les longueurs de deux côtés et l'angle entre eux.

Le théorème d'Alkaci est une de ces formules très très très importantes dans le chapitre du produit scalaire. En gros ce qu'il vous permet de faire c'est que une fois que vous avez dans un triangle les longueurs de deux côtés plus l'angle de séparation entre ces deux côtés, donc comme ceci, alors vous avez avec ça une valeur exacte et unique du côté en face, du troisième côté qui vous manque. En français, si vous voulez, ça serait une généralisation du théorème de Pythagore. Nous on était bien content quand on avait Pythagore parce que quand on avait un triangle rectangle, si je refais la même figure pour un triangle rectangle cette fois-ci, on nous disait bah le carré de l'hypoténuse, le plus grand côté, est égal au carré de celui-ci et au carré de celui-là. Donc on avait une relation directe entre BC carré et AB carré et AC carré. Ici c'est pas un triangle rectangle donc on aura quasiment Pythagore, là on reconnaît le théorème de Pythagore, moins un terme correctif. Quel est ce terme correctif ? C'est moins 2 fois ABAC cos BAC cos l'angle entre AB et AC. Mais ça si vous avez l'oeil c'est en fait moins 2 AB scalaire AC et c'est pour ça qu'on met la formule d'Alkachy dans chapitre sur le produit scalaire. Parce que le terme correctif quand on veut faire une espèce de Pythagore généralisé comme on est en train de faire, le terme correctif est en fait lié au produit scalaire. Donc voilà c'est assez intéressant. Si on veut appliquer Alkachy pour vérifier un triangle rectangle, c'est-à-dire qu'avec un angle en A qui serait de 90 degrés, en fait on retrouverait bien Pythagore parce que le terme ici serait égal à 0, vu que le cosinus d'un angle 90 degrés, donc l'angle en A est de 90, le cosinus vaudrait 0, donc pour un angle de 90, pour un triangle rectangle, appliquer Alkachy nous redonne bien Pythagore. Donc tout marche bien, on est content. Donc ensuite, application très simple dans un exercice, on vous dit soit Mn et P qui vont donc former un triangle tel que Mn égale 5, Np égale 7, l'angle égale 61, déterminer la longueur Mp, je vous l'ai fait ici, vous avez la figure qui est là, Mn, P. On applique la formule Mp² égale Mn² plus Np², donc on prend ce côté au carré plus ce côté au carré, moins deux fois le produit des Mn fois Mp, Mn fois Np, excusez-moi, je vais le réécrire d'ailleurs, Mn fois Np fois le cosinus de l'angle qui les sépare, 61. Après l'application numérique, on trouve 74 moins 70 cos 61, donc si vous voulez ensuite le faire à la calculette pour une approximation, vous avez Mp égale la racine de tout ça, vous avez trouvé une valeur du côté manquant. Donc retenez l'idée en gros, quand vous avez deux côtés et l'angle qui les sépare, il y a une unique possibilité pour le troisième côté qu'on peut trouver grâce à la formule d'Alkachy. Sur ce, posez vos questions s'il y en a, et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo, bye bye !

Formule d'Al-Kashi

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