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Produit Scalaire

Ce cours traite des produits scalaires et d'une formule très pratique qui permet de déterminer un ensemble de points vérifiant un produit scalaire égal à une valeur donnée. Cette formule s'applique lorsque l'on a deux points A et B qui forment un segment et qu'on appelle I son milieu. Pour un point M quelconque, la formule nous permet d'exprimer le produit scalaire MA.MB en fonction de M, par exemple MI carré moins un quart de AB carré. Cette formule peut être très utile pour résoudre certains problèmes de géométrie. Lorsque l'on cherche des points M vérifiant un produit scalaire égal à une valeur donnée, il faut appliquer cette formule en posant le milieu H si celui-ci n'a pas été donné. Ensuite, si on nous demande de trouver les points tels que MH égal 4, il s'agit de reconnaître l'ensemble des points à une distance constante de H, soit un cercle de centre H et de rayon 4.

Dans le chapitre des produits scalaires, il y a une formule qui est au programme qui va être très pratique dans certains exos de géométrie, qu'il faudra bien retenir. Elle nous donne, quand on a deux points A et B qui forment un segment et qu'on appelle I son milieu, une formule très pratique du produit scalaire pour un point M quelconque, MA scalaire MB. Cette formule nous explique que le produit scalaire MA scalaire MB peut s'exprimer en fonction de M point quelconque, qui pourrait être par exemple ici MI carré moins un quart de AB carré. Donc là comme ça c'est une formule qui est intéressante, on peut se demander à quoi elle sert. Il faut la connaître par cœur mais j'ai voulu vous mettre une petite illustration qui explique bien en gros ce que ça peut donner. L'idée c'est que des fois on vous demandera dans certaines petites méthodes très classiques déterminer un ensemble de points tel que un produit scalaire soit égal à une valeur donnée, moins 9. Ça pourrait être moins 7, plus 14, ça peut être quoi que ce soit. Quand vous repérez ce genre d'exos, où on vous dit qu'il faut que le produit scalaire soit égal à quelque chose, tout de suite, ça doit devenir un réflexe, il faut appliquer cette formule là. Pour vous aider ici, c'est une version très facile mais en gros là je vais faire un peu de cours, pour vous aider, il vous explique qu'on vous donne un milieu du segment H. On vous le donne. Un exos plus difficile serait de ne pas vous le donner et de vous dire juste il y a A et B, enfin il y a C et D, deux points, trouvez les points tels que le produit scalaire. MC pour MD, égal à moins 9. Sans vous dire qu'il existe un milieu, ce serait à vous de dire posons I ou H, le milieu, et résolvons. Soit on vous le donne et ça vous guide, soit on ne vous le donne pas et c'est à vous de retenir que en général, quand on cherche les points MT, vérifie ça, ça va utiliser cette formule. Je vous le dis au cas où vous tombez sur une version un peu plus compliquée. Là j'ai commencé à faire une petite figure. On sait que dans le cours on a cette version là. Ici dans l'exo ce n'est pas A et B, j'ai failli se permettre la version du cours avec A et B, dans l'exo c'est C et D, on s'adapte. On a C et D, H le milieu, on écrit MC.CD égal à moins 9, et on fait un raisonnement par équivalence, C est seulement C, et je vais remplacer MC.CD par cette formule là. Donc MC ici ça devient M milieu C H carré, moins un quart de AB carré, AB carré c'est en fait CD carré, égal à moins 9, et je remplace, C est seulement C, MH carré égal, CD carré on dit que CD vaut 10, donc ça fait 100 sur 4, 25 moins 9, C est seulement C, la distance MH au carré vaut 16, C est seulement C, la distance MH vaut 4. Quel est l'ensemble des points qui vérifie MH égal 4? Ça c'est une définition qu'on va voir souvent dans le chapitre sur le produit scalaire, c'est une définition très géométrique de l'objet qui se cache là derrière. Si je prends ma figure ici, je sais qu'ici j'ai une distance 5, une distance 5, on me dit, en fait, l'ensemble des points M recherchés est l'ensemble des points qui vérifie distance entre H et le point M égal 4. Mais quel est l'ensemble des points qui sont une distance de 4 du point H? Il y a par exemple ce point là, il y a ce point là, donc c'est de la son sur le segment CD, mais il n'y a pas de raison de considérer que cela. Il y a d'autres points M qui vérifient être une distance de 4, il y aura par exemple celui-ci, celui-ci, il y en a un qui sera ici, et si vous avez compris un peu l'idée, en fait c'est une définition géométrique d'un cercle. L'ensemble des points qui sont à une distance constante de H, telle que MH égal 4, c'est en fait un cercle. C'est le cercle de centre H de rayon 4. Donc si je le fais ici, je vais le superposer comme ça, le cercle de centre H de rayon 4. Voilà l'ensemble recherché. C'est assez intéressant parce que cela utilise une formule ici, et ensuite cela vous oblige un petit peu à savoir interpréter ce genre de définition. Vous pouvez le retenir par cœur, quand on a M fois un point, la distance en gros MH égale constante, c'est un cercle. Parce que voilà l'ensemble des points qui sont à une distance de 4 de H. Il n'y en a pas d'autre, si vous prenez une règle et que vous tracez 4 cm à partir de H, vous pouvez tracer tout ce que vous voulez, vous n'allez que tomber sur des points du cercle. Ce n'est pas possible qu'il y en ait un ici par exemple, parce qu'il serait trop loin. Donc en gros un cercle, c'est ça. Très intéressant, je vous conseille de bien revoir, bien comprendre ça. Retenir le réflexe, si on nous demande de chercher des points M tels qu'un produit scalaire mc.md égale moins 9, on applique la formule avec le milieu, qu'on vous ait donné ou pas le milieu dans l'énoncé. Et ensuite reconnaître si MH égale 4, que là on parle en fait, reconnaître que M appartient au cercle de centre H et de rayon 4. Posez des questions si besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Ensembles de points à reconnaître

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