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Géométrie

Produit Scalaire

Dans cet exercice, on observe un triangle OAB et on cherche à démontrer que OA' x OB est égal à OA x OB'. On commence par trouver les points A' et B', qui sont les projections orthogonales de A et B sur les côtés opposés. Ensuite, on utilise la propriété du produit scalaire pour exprimer OA' x OB en fonction d'un produit scalaire, et on remarque que ce produit scalaire est également égal à OA' x OB'. Ce faisant, on peut exprimer OA' x OB' en fonction d'un produit scalaire, ce qui nous permet de prouver que OA' x OB est bien égal à OA x OB'. Cet exercice montre l'utilité du produit scalaire dans la résolution de problèmes de géométrie.

Voici un exercice où c'est en observant la figure avec précision qu'on va pouvoir résoudre le problème. Donc étape par étape, soit OAB un triangle, voilà. On considère le point A' projeté orthogonal de A sur OB. C'est parti, on fait un projeté orthogonal, comme ceci, sur OB. Soit B' le projeté orthogonal de B sur OA. On le fait ici, je change de couleur, hop, voilà B'. Montrez que les longueurs OA' x OB, donc ce produit là, vaut le produit OA x OB'. Comme on est dans le produit scalaire, on peut commencer à se dire que ça va être la source de notre solution. Donc OA' x OB, ce sont donc le produit de ces deux longueurs, égal OB' x OA. On va essayer de voir s'il n'y a pas moyen d'exprimer OA' x OB en fonction d'un produit scalaire. Donc OA' x OB, on a l'impression quand même que OA' x OB, vu que ce sont deux vecteurs, on parle de deux longueurs pour des points alignés, OA' B sont alignés, ça c'est égal au produit scalaire, donc un point, OA' OB. Deux vecteurs alignés, c'est la même chose. Dans ce cas là, est-ce qu'il n'y aurait pas d'autres vecteurs qui auraient la même valeur de produit scalaire? En fait, si on a OA' OB, on pourrait essayer de se dire que ça pourrait être également le produit scalaire de OA' et OB'. Pourquoi? Parce que par définition, on peut considérer que le produit scalaire OA' x OB va être égal à OA' x OB, vu que A A pour projeté sur OB' c'est un peu la définition fondamentale qu'on a vue, mais c'est une application qui demande un peu plus de visuel j'imagine. Donc on dit que ça c'est égal à OA' x OB, parce qu'en effet, encore une fois je remontre, OA' x OB, je projette OA' sur OB et je dis que ça peut être le vecteur projeté scalaire OB, le vecteur projeté c'est OA', donc on obtient ce résultat là. De manière parfaitement symétrique, je peux dire OA' x OB' ils sont aussi alignés tous les trois, c'est égal à OB' x OA et je me rends compte que c'est égal à OB x OA. Pourquoi? Parce que OB' c'est le vecteur du projeté de B, et donc je sais par définition du produit scalaire que le produit scalaire OB' x OA est le même que le produit scalaire OB' x OA. Et donc je peux dire que ça c'est égal à OB' x OA. Or, on sait que le résultat ici, or u scalaire v, c'est une propriété du cours, c'est égal à v scalaire u, donc ces deux éléments sont les mêmes. Ces deux produits scalaires en fait sont égaux, j'en déduis donc ainsi OA' x OB en distance est bien égal à OA' x OB'. C'est assez simple, mais c'était une manière de bien voir l'utilisation du produit scalaire. Cette symétrie du produit scalaire u' u' v égal à v' u nous permet ensuite, après avoir détecté qu'il y avait des astuces au niveau des projections, de détecter l'égalité qui est demandée. J'espère que c'était clair, c'est une illustration qui n'est peut-être pas si simple parce que quand on commence à faire pas mal d'exos, on s'habitue aux formules des coordonnées, des x'''''''''' et on oublie un peu qu'on peut tomber sur ce genre d'exos qui revient aux définitions fondamentales. C'est pour ça que je voulais vous le montrer. Sur ce, posez des questions si besoin et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Produit scalaire : 0 calculs, que des projections

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