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Produit Scalaire

L'exercice consiste à calculer des produits scalaires à partir de projections. On utilise la propriété selon laquelle le produit scalaire entre deux vecteurs est égal à leur projection sur une même direction. On démontre ainsi que AB scalaire AC est égal à AB au carré, que AB scalaire AD est égal à zéro, que OC.OD est égal à zéro, que AC.AO est égal à la moitié de A², que OC.OA est égal à moins un demi A² et que AD.OB est égal à moins un demi A² également. L'exercice permet de se familiariser avec la formule des projections, qui permet de simplifier les calculs.

Exercice simple et classique, on va utiliser des projections On a pas mal de produits scalaires à calculer, on va faire ça assez vite mais c'est pour vous montrer ce qu'on peut faire dans un monde où on a accès à pas mal de projections Le carré est de côté A, un truc qu'on peut écrire assez vite par exemple c'est que les diagonales AC valent A√2 On a plusieurs petits pythagores ABC on s'en rend compte et donc AO, où toute demi-diagonale vaut A√2 sur 2 si vous voulez Je l'écris comme ça parce que ça va être utile AB scalaire AC, comment on va faire? Le premier truc qu'on va écrire, c'est que AC, quand on le projette sur la direction de AB, ça fait AB Donc AB scalaire AC, ça va être égal à AB scalaire AB lui-même Pourquoi? Parce qu'il y a une propriété qui nous dit que on peut dire que U scalaire V, une propriété qu'on a déjà vu dans une des vidéos précédentes qu'on a U scalaire V qui est égal à U scalaire V' si je prends V' projeté ici Je vous encourage à aller voir la vidéo dans les méthodes classiques de cours Ici c'est AB scalaire AB, ça fait AB², or AB c'est A donc ça fait A² En utilisant juste cette projection on s'en sort tout de suite AB scalaire AD, c'est simple, ça fait 0 parce que AB et AD sont perpendiculaires par définition d'un carré OC.OD, ça c'est intéressant, OC scalaire OD, par définition d'un carré les diagonales se coupent en leur milieu de manière perpendiculaire donc OC et OD sont de droite orthogonal, c'est un faux scalaire nul AC.AO, c'est intéressant, AO c'est un demi de AC donc on pourrait dire AC, bon c'est ça, ça ferait un demi de AC², ça fait un demi de AC scalaire AC, donc un demi de AC² Or AC² c'est quoi? C'est A racine de 2 au carré, ça fait A², c'est magnifique A² ça nous fait A² fois 2 fois un demi, ça fait A² Ensuite on a OC.OA, donc OC.OA, ça c'est pas mal non plus, OC.OA On se rend compte que OA c'est moins OC, donc ça me fait en fait moins OC fois OC, donc moins OC² On avait écrit justement OA ou OC, moins, racine de 2 sur 2 au carré ça fait 1 demi, moins 1 carré sur 2 Enfin on nous demande AD.OB, et comment on observe ça? AD.OB je le fais ici, AD.OB Pour plus de clarté je vais remplacer le vecteur OB par un vecteur qui lui est égal, je vais plutôt faire le vecteur DO AD.DO, c'est ces deux là, donc AD.DO C'est pas encore le plus clair possible, donc ce que j'ai envie de faire c'est plutôt AD, donc je vais mettre plutôt DA Je remplace AD par moins DA, moins DA.DO Là je m'en suis sorti, j'ai DA, scalar DO, et je me rends compte que DA quand je le projette sur DO dans la direction comme ça Si je vais projeter DA sur DO, ça fera DO Je peux remplacer le produit scalar DA.DO par le produit scalar de DO par DO, en utilisant encore une fois les projections Donc ça fait moins DO carré, or DO c'est une demi-diagonale, c'est donc moins A² sur 2 de la même manière que le précédent Voilà j'ai corrigé un peu vite, n'hésitez pas à la re-regarder, à vous poser, à faire une figure pour bien comprendre ces projections C'était un bon exemple de ce qu'on peut vous demander, ce qu'on peut faire avec des projections sans trop de calcul C'est plus pour vous habituer à bien regarder les figures et à bien comprendre cette idée de la formule des projections Sur ce, posez des questions si besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo Bye bye

Produit scalaire dans un carré

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