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Cet exercice consiste à trouver l'ensemble des points M du plan vérifiant MA ⋅ MB + MC = 0, sachant que a' est le milieu du segment abaissé. Pour simplifier l'expression, il faut trouver un moyen d'avoir du M concentré en un seul endroit. En utilisant la formule du milieu, on peut remplacer MB par MA' + A'B et MC par MA' + A'C, et ainsi dégager A'B et A'C. Il reste alors MA ⋅ 2MA', soit MA ⋅ MA', qui correspond à l'ensemble de points connus dans le cours, à savoir le cercle de diamètre AB. En effet, tout point M vérifiant MA ⋅ MB = 0 est perpendiculaire à MB, ce qui correspond à un point sur le cercle de diamètre AB. On peut donc conclure que l'ensemble des points M est l'ensemble des points du cercle de diamètre AA'.

Voici un exercice qui n'est pas simple au premier abord mais qui va le devenir si vous maîtrisez bien vos ensembles de points classiques. Donc on vous dit soit un triangle abaissé, a' le milieu du segment baissé. Donc voilà une petite figure qui correspond à ça. Trouvez l'ensemble des points M du plan vérifiant MA scalaire MB plus MC égal 0. Donc ça ressemble à ces exos où on vous dit, trouvez l'ensemble des points tels que MA scalaire MB, vous savez, égal à moins 8. J'en ai fait un comme ça dans la section précédente, la section un peu plus méthode classique de cours. En fait ça, un segment avec un milieu, un ensemble de points à trouver, ça vous rappelle un peu cette propriété du milieu. MA scalaire MB égal à mi carré moins un quart de AB carré. Donc on va essayer de voir ce qu'on peut faire. Le premier truc à faire c'est de simplifier l'expression ici avec SHAL. MB plus MC, c'est bien mais j'ai du M un peu partout, le but de cette formule et de tous ces problèmes là, quand on fait du SHAL ou quand on simplifie un peu, c'est d'avoir du M qui est concentré à un seul endroit. Par exemple là j'ai du M à deux endroits, j'ai du M plus qu'à un endroit dans cette égalité. Là j'ai du M à trois endroits, je vais essayer de travailler l'expression pour avoir du M bien concentré d'un côté. Donc première étape, simplifier avec SHAL. Vu que je sais que là j'ai A' au milieu de BC, je me dis si je fais apparaître A' ici et ici, ça peut aider. Donc en effet, quand je remplace MB par MA' plus A'B et de même pour MC, je me rends compte que A'B plus A'C, A' étant le milieu de BC, je peux dégager ces deux termes là. Donc il me reste quoi ici? Deux MA'. Déjà j'ai quelque chose de beaucoup plus compact, donc je trouve que c'est MA scalaire deux MA', le deux peut sauter et je trouve MA scalaire MA'. Donc là, soit le prof vous l'autorise, soit on vous autorise et vous dites, ça c'est un ensemble de points connus du cours, c'est possible, c'est l'ensemble de points utilisés ici. Donc quand vous avez un segment AB, MA scalaire MB égal 0, si et seulement si, on parle d'un point M qui appartient au cercle de diamètre AB. Pourquoi? Parce que quand A et B sont fixés, pour avoir MA et MB en scalaire qui est nul, il faut que MA soit perpendiculaire à MB. En fait, vous savez que dans un cercle, quand vous prenez n'importe quel point M sur le cercle, ça fait un triangle rectangle. Donc ça c'est une propriété de troisième seconde je pense. C'est un peu ça qui se traduit ici, donc n'importe quel point M tel que MA scalaire MB égal à 0, c'est en fait n'importe quel point sur le cercle de diamètre AB. Donc là on pourrait dire tout de suite, M c'est l'ensemble des points du cercle qui a pour diamètre AA'. Donc si j'avais AA' ici, je pourrais tracer un genre de cercle comme ça. Donc soit vous le balancez comme ça, c'est possible, il faut voir si le prof l'accepte, soit vous devez redémontrer un peu. Pour redémontrer ça, je vous fais une petite démonstration rapide de ce fait là. Pourquoi est-ce que MA scalaire MB égal à 0? En fait on le démontre en utilisant cette propriété là. Donc on écrit, en fait on réutilise la formule du milieu, un shal dans la formule du milieu. 0 égale MA scalaire MB égale, cette formule du milieu, MI² moins 1 quart de AB². Donc ça veut dire que MI² égale 1 quart de AB². Donc la distance MI égale AB sur 2. AB sur 2 c'est une valeur fixe, alors je vois si AB vaut 14, ça fait 7. J'ai donc bien trouvé l'ensemble des points qui sont à une distance fixe de I, un autre point. Ça on a déjà dit, quand j'ai un point, l'ensemble des points qui sont à la même distance de ce point, c'est un cercle. Et c'est pour ça qu'on a bien le cercle de centre I de rayon AB sur 2, soit le cercle de diamètre AB. Donc voilà, là il fallait le repérer, un petit shal, c'est un peu négatif de vecteur, un petit shal pour s'en sortir. Potentiellement vous reconnaissez cet ensemble de points que je vous ai mis là, et si le prof ne l'accepte pas, il faut refaire une petite démonstration en utilisant cette formule là, qui elle est clairement en programme, donc il n'y a pas de problème. Posez moi des questions s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye!

Chasles pour trouver un ensemble de points

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