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Géométrie

Produit Scalaire

Dans ce cours, on apprend à résoudre un problème de géométrie avec des produits scalaires de deux manières : avec un système de coordonnées ou en utilisant la géométrie pure. La résolution avec coordonnées est très simple : on donne les coordonnées de tous les points et on calcule les coordonnées des vecteurs DE et AF pour démontrer que DE et AF sont perpendiculaires en appliquant la formule du produit scalaire. En revanche, la résolution sans coordonnées est un peu plus complexe : il faut réfléchir à comment décomposer DE et AF. En fin de compte, il faut développer le produit scalaire de DA plus AE et AB plus BF pour arriver à la conclusion que DE est orthogonal à AF. Même si la résolution sans coordonnées peut être plus créative, elle est souvent moins intuitive que la résolution avec coordonnées.

Un exercice très intéressant parce qu'il va illustrer le fait qu'on peut souvent dans les exercices de produits scalaires résoudre de deux manières. Une manière qui est vraiment la manière je pense sauvetage qui est d'utiliser un système de coordonnées et une manière qui est d'utiliser la géométrie pure. Alors quand il y a des problèmes un peu complexes de géométrie avec des produits scalaires et tout moi le réflexe que j'avais c'était souvent de poser un système un système de coordonnées. Dès que vous posez ça vous avez en gros des coordonnées pour chaque point vous pouvez appliquer la formule xx' plus yy' en fait on se sent safe on sait qu'en gros on a un peu un système automatique de pensée et que même si les calculs vont peut-être être galères on a un chemin tracé. Sans coordonnées ça implique d'être beaucoup plus intuitif sur la géométrie de repérer des choses, des sens et d'être assez genre créatif sur comment faire des châles etc. Donc c'est à part si vous avez développé un goût à ça, ce qui est très bien parce que ça va faire de vous de bons géomètres c'est souvent une solution qui est peut-être moins intuitive et en tout cas moins facile à trouver instantanément. Donc on va voir ça tout de suite. On vous dit soit un carré avec des points E et F qui sont en gros le milieu de AB et le milieu de BC. Première résolution avec coordonnées. Dans le repère ABD donnez les coordonnées de tous les points bon c'est pas très compliqué hein. A c'est l'origine donc c'est 0 0 B c'est le point équivalent de I comme D est équivalent de J quand on a un repère usuel donc c'est 1 0 et 0 1 C c'est celui qui a 1 et 1 E il a 0 en ordonnée mais 1 demi en abscisse donc c'est ça et F c'est 1 et 1 demi. Bon très simple. Conclure sur le fait que DE et AF sont perpendiculaires. Pour les droits DE et AF qu'est-ce qu'on fait? On calcule les coordonnées du vecteur DE on fera pareil pour les coordonnées du vecteur AF et on va faire le fond du scalaire en espérant que ça va être 0. Donc DE je fais 1 demi moins 0 ça fait 1 demi 0 moins 1 moins 1 et AF, A c'est l'origine donc en fait c'est juste 1 et 1 demi enfin 1 moins 0, 1 demi moins 0 si vous voulez. J'en déduis DE scalaire AF égal ça fait 1 demi fois 1 moins 1 fois 1 demi égal 0 C'est bon c'est démontré Donc en gros là vous avez juste fait un petit produit scalaire très simple c'est nul donc les droits sont perpendiculaires. C'est chouette Très simple. Petit b, sans coordonnées. Alors là c'est un peu différent sans coordonnées ça sera un peu genre débrouillez-vous avec ce carré et trouvez les bonnes relations les bonnes relations qui vont donner par hasard ce qu'il faut. On veut montrer donc que DE et AF donc DE et AF je peux les tracer à droite, DE c'est ça et AF sont orthogonales, perpendiculaires. Sans système de coordonnées c'est vrai que là il faut réfléchir un peu plus. Il vous donne la réponse et c'est jouable. Quand il vous donne la réponse on peut comprendre ce qu'il veut mais s'il fallait le faire sans aucune indication vous voyez que c'est plus compliqué déjà. Quand on vous donne rien poser un système de coordonnées comme réflexe sera plus simple. Mais vous pouvez vous dire bon DE, EF c'est un peu bizarre mais peut-être que je peux juste décomposer ça revient un peu à penser dans votre tête sans le dire un système de coordonnées on peut peut-être le décomposer en disant que DE comme vecteur ça pourrait être peut-être du DA plus AE ou AF ça pourrait être du AB plus BF. En gros on pourrait le décomposer sur des choses beaucoup plus simples et élémentaires. En fait c'est ce qu'ils font. Ici il vous dit de développer le produit scalaire, il vous sort un peu de nulle part sans vous expliquer trop la logique. DA plus AE, AB plus BF. Il faut tout de suite repérer que quand il vous donne ça en fait DA plus AE c'est un shall qui a été appliqué à DE. Donc on calcule DE plus AF pardon, DE scalaire AF en espérant qu'en fait ces deux vecteurs en produit scalaire vaillent zéro. Donc qu'est-ce qu'on fait? Là moi je fais ça c'est déjà une table de travail, d'avoir repéré que ça va aller DE scalaire AF c'est une des tables du boulot. Donc vous avez ça et ensuite on vous dit de développer. Parfait, DA scalaire AB on peut tout développer. Donc on a DA scalaire AB plus DA scalaire le deuxième BF DA scalaire BF plus ensuite les deux derniers, plus AE scalaire AB et enfin AE scalaire BF Bon là dedans il y a sûrement des choses qui sont orthogonales et qui vont dégager. Ce qu'on va regarder tout de suite DA scalaire AB j'ai DA AB c'est orthogonal ça dégage. C'est à dire que le produit scalaire vaut zéro. Super, AE scalaire BF j'ai AE BF c'est orthogonal ça dégage. C'est assez simple on est content. DA scalaire BF DA scalaire BF ont la même direction pas le même sens donc tout ce que j'ai à faire c'est dire égal moins pour DA scalaire BF, moins DA fois BF leur norme. Et AE scalaire AB ils sont dans le même sens même direction même sens donc c'est AE fois AB. Mais là on peut conclure facilement parce que DA et BF c'est vraiment les distances DA c'est égal à la distance AB et BF est égal à la distance AE en fait. Donc j'ai en fait quelque chose qui est égal à moins AB fois AE plus AE fois AB et donc ça fait zéro. Pourquoi je dis ça? C'était l'idée que DA c'est la même longueur que AB et BF ici c'était la même longueur que AE. C'était manière de l'écrire. On obtient donc que c'est égal à zéro et comme on repère que ça c'est égal à DE scalaire AF alors DE est orthogonal à AF. La partie B est un peu plus complexe elle est peut-être simple quand on vous guide comme ça mais moi je voulais vous montrer en gros voilà la figure. Démontrez que DE et AF sont perpendiculaires c'est ça le but de cet exo c'est de vous démontrer en gros si vous êtes face à juste un exo très large comment vous pouvez faire soit avec coordonnées soit sans coordonnées. Il me semble qu'avec coordonnées c'est quand même une échappatoire beaucoup plus simple. Dites moi ça dans les commentaires, des questions et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Au choix : avec ou sans coordonnées ?

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