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Produit Scalaire

In this video transcription, the goal is to prove that BA dot BC equals one quarter of (BD squared minus AC squared), where BCD is a parallelogram with a center at point H. The speaker initially tries to approach the problem from both sides but finds that it doesn't work well. Instead, they recommend starting from the left side and trying to simplify as much as possible, then doing the same for the right side, and finally comparing the two to see if they can be shown to be equal. The speaker also notes that the fact that H is the center of the parallelogram is important and should be used. By treating BD squared minus AC squared as a scalar function of AC, the speaker is able to simplify the expression to 4 times BO squared minus AO squared, which can then be compared to BO squared minus AO squared plus OC squared minus OA squared. Finally, it is shown that if BA dot BC equals 0, then BD equals AC, proving that ABCD is a rectangle. The main takeaway from this video is the method of approaching a problem from both sides and simplifying as much as possible before comparing the two expressions.

Cet exercice est peu simple mais parfait pour vous montrer une méthode, une manière de commencer sur un exo quand vous vous demandez un peu quoi faire et que vous êtes un peu paumé. Moi-même quand j'ai essayé de faire le corriger de ça pour préparer ce cours, j'ai un peu galéré en essayant de prendre des chemins qui me semblaient logiques comme chemin de départ. Et je me suis rendu compte ensuite que ce n'était pas la bonne méthode et qu'il fallait faire la méthode un peu plus bourrine que je vais vous montrer tout de suite. Donc on a un parallélogramme à BCD de centre haut. Montrez que BA scalaire BC égale 1 quart de BD carré moins AC carré. Voilà la BCD, voilà son centre. On vous dit un truc un peu bizarre, c'est à dire que le produit scalaire de ça et ça, ça vaut 1 quart de la longueur ici au carré moins celle-ci au carré. Pourquoi pas? Donc ce que j'ai voulu commencer à faire c'est me dire je vais partir soit de la gauche et essayer d'obtenir ce qui est à droite, soit partir de la droite et essayer d'obtenir ce qui est à gauche. Franchement ça ne marchait pas trop, c'était un peu relou, enfin ce n'était pas idéal. La bonne technique c'est plus de partir de ce qui est à gauche, aller le plus loin possible, partir de ce qui est à droite, aller le plus loin possible et voir si on ne peut pas retrouver la même chose avec les deux serbes. Pas nécessairement, vous voyez ce que je veux dire, si ça c'est un point de départ et ça c'est un point d'arrivée, pas nécessairement montrer que celui-ci est capable de remonter jusqu'à là. Non, montrer qu'en partant de là on peut arriver à un certain endroit et qu'en partant de là on peut aussi arriver à cet endroit. Donc ça vous n'avez pas besoin de faire la remontée d'un côté ou de l'autre. En gros on va essayer de démontrer si BA.BC est égale à 5 par exemple et qu'en même temps on arrive à montrer par un autre chemin que ça aussi c'est égal à 5, on pourra dire que les deux sont égaux. Et je n'aurais pas besoin de remonter et dire que ça ça vaut 5, qui lui-même vaut ça, vous voyez ce que je veux dire? Ça serait faire en deux étapes plutôt que d'essayer de faire une boucle complète. Je vais vous montrer parce que c'est beaucoup plus simple de faire ça même si c'était peut-être confus mon explication. Deuxième chose c'est qu'il y a un indice de centre haut. Le centre haut il n'est pas là pour rien, si on vous le dit c'est qu'il faut l'utiliser. Donc on va commencer avec BD²-AC². Technique très très très classique, considérez que ça ce sont en fait des vecteurs. C'est à dire que quand je mets ça en vecteur ça veut dire que c'est en fait un produit scalaire, c'est une écriture, qui veut dire ça. BD²-AC² scalaire AC. Et quand je fais ça c'est top parce qu'ensuite je peux écrire tout de suite BD-AC en vecteur scalaire BD plus AC. Donc là j'ai BD et AC ce sont les deux diagonales. Les deux diagonales je peux introduire dans chacune des expressions, je peux simplifier les diagonales en utilisant des demi-diagonales. Donc BD par 2BO et AC par 2AO. Je vais faire la même chose de l'autre côté, ça fait 2BO. Là j'ai plus AC ça serait plus 2AO. Et en fait je vais retrouver un carré un peu comme ici mais dans l'autre sens. Donc là je mets 2 en facteur dans chaque parenthèse, ça me fait 2 qui vient ici devant et un 2 ici qui vient devant ça fait donc 4. 4 fois BO-AO scalaire BO plus AO. J'applique l'identité remarquable et j'obtiens 4 fois BO²-AO². Voilà l'élément commun dont je parlais tout à l'heure, j'ai montré que ce truc là valait ça. Donc en gros si vous voulez je fais foin un quart de chaque côté et le 4 disparaît. En gros j'ai montré qu'un quart de ça vaut ce truc là. Est-ce qu'on ne peut pas montrer que BO-AO²-AO² est aussi égal à ça? Donc BO-AO²-AO² je vais essayer de voir si lui je ne peux pas le faire arriver au même point. Je vais mettre orange ici. Est-ce que BO-AO²-AO² je peux faire la même chose? J'introduis O en faisant chal, j'ai BO plus OA, scalaire BO plus OC. Je fais juste un petit chal pour mes 2 longueurs. Ça commence bien parce que déjà j'ai du BO². Si je développe tout j'ai BO² quand je développe ça comme ça, ensuite j'ai BO plus fois OC, OA fois BO. Donc OK, plus BO scalaire OC plus OA scalaire BO plus OA scalaire OC. Et je vais déjà avancer un petit peu. OA scalaire OC, ben OA c'est moins OC donc je peux remplacer tout de suite par moins OC². Et vous savez quoi? OC² je peux mettre moins OA². La distance OC c'est la distance OA donc voilà. Pourquoi je fais ça? Parce que je me rends compte que je ne suis déjà pas très loin. Il ne me reste plus qu'à montrer que les termes au milieu se compensent. Donc j'écris BO²-OA² plus BO, je peux mettre ces 2 là ensemble. Ces 2-ci je peux les factoriser parce que j'ai un BO qui est commun. OC plus OA, ça tombe bien parce que O est le milieu de AC donc OC plus OA ça vaut 0. C'est le vecteur nul. Et donc j'ai bien montré que B à scalaire BC est égal à BO²-OA². Magnifique, ça c'est bien 1 quart avec ce qu'on a vu au dessus. 1 quart de B²-AC². Voilà ce que je voulais vous montrer, c'était l'idée de... Je ne suis pas obligé de faire une boucle complète. C'est-à-dire d'arriver à ça et de dire qu'en fait je retrouve un truc comme ça. Non, compliqué parce qu'il y a un chemin qui est dur à faire à l'envers. Donc partir de chacune des expressions et arriver quelque part de chaque côté indépendant, c'est top parce que ça vous permet de faire moins d'étapes mais 2 fois. En gros ça vous fait une bonne démonstration. La question 2 ensuite est très simple, je vais le faire à l'oral. En déduire qu'ABCD est un rectangle si seulement 6 est diagonale à la même longueur, ABCD si c'est un rectangle, on a BA et BC qui sont orthogonales. Donc BA scalaire BC égale 0. Je vous le fais, ABCD est rectangle. Ça, ça veut dire que les droites BA et BC sont orthogonales, donc BA scalaire BC égale 0. Et avec ce qu'on a démontré au-dessus, bah oui mais hors BA scalaire BC ça vaut 1 quart de BD carré moins AC carré. Et donc on trouve que BD carré égale AC carré, donc BD égale AC. Voilà, c'est un rectangle, on voit que, enfin je pourrais mettre si et seulement si, d'ailleurs là c'est pas une implication, si les rectangles ça veut dire que BA scalaire BC ça, si et seulement si BD égale AC, c'est la fin de la démonstration. Donc ça c'est pas très compliqué. Le plus important pour moi c'était la méthode de comment gérer ce genre d'exos, quand des fois vous savez pas comment aller dans l'égalité pour démontrer de la gauche à la droite, ou de la droite à la gauche, quand les deux sont un peu compliqués, on peut se permettre de s'arrêter au milieu du chemin pour les deux. J'espère que c'était clair, sur ce je vous dis à la prochaine, posez des questions si nécessaire, bye bye!

Caractériser un rectangle

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