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Produit Scalaire

Dans cet exercice, il faut comparer les valeurs des angles alpha et beta d'une figure composée de 6 carrés de côté 1. Pour trouver les valeurs des angles, on peut utiliser le théorème d'Al-Kashi qui permet de calculer la mesure d'un côté en fonction des deux autres côtés et de l'angle correspondant. Pour alpha, on peut facilement accéder au cosinus en utilisant un triangle rectangle. Pour beta, on doit utiliser un triangle quelconque et appliquer Al-Kashi pour calculer la valeur de cos beta. Ensuite, il suffit de comparer les valeurs de cos alpha et cos beta pour déterminer lequel des deux angles est plus grand. On peut remarquer que les deux angles sont entre 0 et pi sur 2, ce qui permet de dire que si alpha est plus grand que beta, alors cos alpha est plus petit que cos beta. En résolvant l'exercice, on trouve que cos alpha et cos beta sont égaux, donc alpha = beta. L'exercice permet de tester notre utilisation du théorème d'Al-Kashi et notre réflexe pour résoudre des problèmes avec des angles bizarres.

Un exercice assez intéressant où on vous dit voici une figure composée de 6 carrés de côté 1 il faut comparer les valeurs des angles alpha et beta Alors je vais vous expliquer un peu le raisonnement l'idée quand on voit ça c'est de se dire bon il faut que j'accède à une mesure potentiellement de alpha et de beta alpha ça va pas être bien compliqué donc là j'ai un nombre là j'ai un côté c, enfin j'ai un point c alpha je suis dans ce triangle là dans ce triangle ci là je me rends compte que dans ce triangle là je vais pouvoir accéder à cosinus, sinus ou tangente de alpha très facilement parce que c'est un triangle rectangle comme c'est un triangle rectangle c'est simple beta c'est un peu plus complexe beta c'est vraiment un triangle quelconque donc j'essaye d'avoir accès à une valeur d'angle dans un triangle quelconque triangle quelconque je sais qu'on est dans le contexte du produit scalaire ça sera peut-être plus compliqué si je vous le donnais genre hors de tout contexte mais dans le chapitre produit scalaire triangle quelconque ça doit vous faire réagir c'est la formule la formule unique qui fait référence c'est alkashi alkashi elle vous donne la valeur d'un côté en fonction des deux autres côtés et de l'angle est-ce que ici je peux avoir accès aux trois côtés ça va être ça le raisonnement en fait ici je peux avoir accès au côté ed c'est 1 le côté ef ça va être très simple c'est la racine enfin c'est la diagonale d'un carré donc c'est une racine de 2 donc le carré fait côté 1 avec un petit pythagore c'est réglé et là pareil on fait un espèce de pythagore et on trouve fd direct donc j'ai un triangle fd où je connais les trois côtés en appliquant alkashi je vais obtenir cos beta on va le faire ensemble je vais trouver cos beta facilement ça m'indique donc le processus la marche à suivre pour alpha alpha ça veut dire que je vais aussi me concentrer sur son cosinus je pourrais calculer sinus alpha mais c'est pas ça qui va être intéressant ce qui va être intéressant c'est cos alpha ensuite je pourrais comparer cos alpha et cos beta ça c'est ma première remarque quand on vous demande lequel des deux est le plus grand remarque numéro 1 alpha et beta sont entre 0 et pi sur 2 c'est à dire que les deux sont plus petits qu'un angle droit ça veut dire, je pourrais mettre un égal ici alpha plus petit ou égal à beta c'est équivalent à cos alpha plus grand ou égal à cos beta parce qu'on sait que plus un angle est grand entre 0 et pi sur 2, 0 et 90 degrés si vous voulez plus un angle est grand plus son cosinus diminue donc la fonction cosinus est décroissante en fait donc si alpha est plus grand strict que beta ça veut dire que cos alpha lui sera plus petit donc si j'arrive à trouver une comparaison entre les cosinus j'aurai automatiquement une comparaison inverse en l'occurrence entre les angles sachant qu'il n'est pas impossible également de trouver que les angles sont les mêmes on va voir donc on commence dans BCG, on commence par le plus facile on commence toujours, avec Général commencez toujours par ce qui est facile à dérouler le plus facile c'est de faire un petit trigo basique dans un triangle rectangle BCG dans BCG cos alpha c'est BC sur BG, BC c'est 3 fois 1 BG on fait un petit Pythagore, c'est 3 au carré plus 1 au carré 10 donc BG c'est racine de 10 j'obtiens cos alpha égale 3 sur racine de 10 on n'aime pas les racines au au dénominateur donc on fait fois racine de 10 en voyant en bas, on trouve ça deuxième étape FED, comme j'ai expliqué on va faire alkachie je peux calculer les 3 côtés, FE c'est racine de 2, DE c'est 1 et pour trouver FD je vais faire un petit Pythagore assez spontané dans ce triangle c'est à dire que FD carré c'est FG carré plus GD carré ça fait 2 au carré plus 1 au carré, ça fait 5, je trouve donc FD et il y a racine de 5 je cherche un angle à partir de 3 côtés c'est alkachie donc alkachie comment je peux l'écrire? ED carré, donc ça vaut 1, je l'ai écrit en plus, j'ai ED carré égale c'est ça alkachie EF carré plus DF carré, donc le début ressemble à un Pythagore avec un terme correctif, moins 2 fois EF fois DF fois cos bêta en effet je fais exprès de prendre cette formule dans ce sens là parce qu'il me faut le cos de bêta donc je considère alkachie pour calculer le côté qui est opposé à bêta, donc ED ED carré c'est donc EF carré plus DF carré moins 2 EF DF cos bêta j'ai déjà fait le travail pour toutes les longueurs, j'ai plus qu'à remplacer 2 plus 5 moins 2 racines de 10 etc je me dépailletouille ici ça fait 1 moins 7 ça fait moins 6, je divise par moins 2 racines de 10 vous avez compris l'idée ça fait 3 racines de 10 sur 10 donc c'est parfait parce que là au final je me rends compte que cos alpha égale cos bêta donc alpha égale bêta, on parle de l'exercice ce qui est intéressant c'est le côté un peu débrouillez-vous, voici des angles un peu bizarres, débrouillez-vous avec il faut avoir le réflexe, ça teste votre réflexe d'utilisation d'alkachie j'espère que ça vous a aidé, posez des questions si nécessaire et je vous retrouve dans une prochaine vidéo bye bye

Comparer des angles : quelle formule appliquer ?

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