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Géométrie

Produit Scalaire

Dans cet exercice de géométrie, on prend un carré ABCD et un point M sur la diagonale BD. On doit démontrer que la droite CM et la droite PQ sont orthogonales. Si on utilisait des coordonnées, cela pourrait être facile, mais on nous guide sur comment faire une démonstration géométrique à l'aise. On exprime les longueurs BP, DQ, AQ en fonction de C et D, puis les produits scalaires CM.scalar AQ et CM.scalar AP. En décomposant le vecteur CM en CD, DQ et QM, on peut montrer que CM.scalar AQ est égal à DQ.scalar AQ et CM.scalar AP est égal à moins C.scalar D plus la norme de QM. On en déduit que CM et PQ sont perpendiculaires. Pour résoudre des exercices de géométrie avec des produits scalaires et des vecteurs penchés, il est utile de décomposer les vecteurs en utilisant exclusivement des angles droits.

Un exercice très intéressant où on vous entraîne à faire des raisonnements géométriques. On a vu dans les exos plus classiques qu'il y a certains exercices qui peuvent être faits soit purement de manière géométrique, soit en utilisant des coordonnées. Dans celui-ci, il serait très possible de faire des coordonnées, mais on vous guide un peu sur comment faire pour essayer de faire une démonstration géométrique plus à l'aise. C'est un peu un entraînement à ça. On va suivre la démarche et voir ce qu'on nous demande. On prend un carré ABCD et on prend un point M quelconque sur la diagonale BD. Donc ABCD est ici, ABCD, et j'ai la diagonale ici BD. On prend un point M quelconque. On considère P et Q. Si on faisait des coordonnées, on pourrait dire qu'on aurait P et Q, la psy c'est l'ordonnée de M. Je vous encourage à le faire, à l'essayer vous-même pour voir si vous arrivez à résoudre ce problème en coordonnées facilement. Le problème étant de démontrer que la droite CM et la droite PQ sont orthogonales. Avec des coordonnées, je pense que ça se fait assez vite. Mais là, on va le faire sans. Petit 1, exprimer les longueurs BP, DQ, AQ, donc on vous guide vraiment, en fonction de C et D. BP c'est assez facile, BP c'est là. Si le côté vaut C et que la P vaut D, BP c'est tout bêtement C-D. Basique. DQ. DQ est ici. On se rend compte qu'en fait DQ ça va être égal à QM parce qu'on a ici un angle 45°. Donc ça c'est un triangle isocèle et rectangle. Et donc DQ égale QM, mais QM dans le rectangle C égal à AP. Or AP c'est petit d, donc DQ vaut petit d. Enfin, AQ. AQ ça vaut AD, donc tout ça moins DQ. AD c'est C, moins DQ ça fait C-D. Ok, on retrouve que DQ, AQ pardon. Qu'est-ce que j'ai dit? Que AQ c'est égal à PB. Très bien. Exprimer les produits scalaires. CM scalaire AQ et CM scalaire AP en fonction de C et D. Alors, on vous dit, c'est là qu'il faut voir les petits réflexes qui peuvent être intéressants. CM scalaire AQ. Sans coordonnées. CM, ce qui est un peu dommage, c'est qu'il a plusieurs parties. CM il a une partie, on pourrait dire, enfin, comment dire, AQ et vertical. CM n'est pas ni vertical, ni orthogonal, ni parallèle à AQ. Mais on peut décomposer le vecteur CM. On pourrait dire que le vecteur CM il a une partie qui est comme ça, et une partie qui est comme ça. En gros il faut faire un shall intelligent. Ça va t'aider l'exercice. Donc CM, on va l'écrire en fonction des différents vecteurs qu'on a. Je pourrais dire que CM, je vais faire un chemin avec que des angles droits. CM ça va être en fait CD, angle droit DQ, angle droit QM. Je pourrais dire que c'est CD plus DM. Mais quand je vais faire DM scalaire AQ, ça ne va pas m'aider, parce que c'est encore penché, même si je connais l'angle, c'est vrai que je peux le faire. Ça va être gérable parce que je connais l'angle de 45°. C'est encore plus simple de faire trois étapes. Trois étapes avec des angles droits. On peut décomposer le vecteur CM en CD plus DQ plus QM. Il ne faut pas avoir peur. Quand je fais ça, CM.AQ ça devient quoi? CD plus DQ plus QM.AQ. Ça a du sens, ce n'est pas juste la formule qui sort de nulle part. Il faut le faire en ayant en visuel la figure. Ça fait CD scalaire AQ. CD scalaire AQ c'est orthogonal, ça dégage. Plus DQ scalaire AQ, ça va être facile parce que les deux sont parallèles. Très simple, je vais utiliser juste les normes. Plus QM scalaire AQ. Plus QM et AQ c'est aussi orthogonal. Donc ça, ça dégage. Donc j'obtiens que CM scalaire AQ c'est DQ scalaire AQ. Or DQ je connais, c'est D. AQ c'est C-D. Ils sont dans des sens opposés, je mets un moins. Ça fait moins D fois C-D. De la même manière, je fais CM scalaire AP. CM scalaire AP, CM. Je vais le décomposer, pareil, CD plus DQ plus QM. Ça fait CD scalaire AP. CD scalaire AP, ils sont dans des sens opposés mais parallèles. Donc c'est moins C fois D. Plus DQ scalaire AP. DQ et AP c'est orthogonal, ça fait 0. Plus QM scalaire AP. En fait c'est le même vecteur. Donc ça fait la norme au carré. Quand je factorise, je me rends compte que les deux produits scalaires sont égaux. Parfait. On dit ensuite en déduire que CM et PQ sont perpendiculaires. Et on se rend compte que si je fais CM scalaire PQ, je peux faire un petit shall. Pour faire apparaître non pas PQ mais PA et AQ. Donc je fais PA plus AQ et je retrouve CM.AQ, CM.AP. CM.PA, il y a un scalaire ici, CM.PA. C'est en fait moins CM.AP plus CM.AQ. Or les deux sont égaux, ça fait 0. C'est perpendiculaire. Donc la conclusion est assez rapide. Moi ce que je voulais vous montrer surtout, c'est quand on a des exercices de géométrie avec des trucs comme ça, des produits scalaires avec des trucs penchés, avec des vecteurs penchés, c'est bien de décomposer avec uniquement des angles droits. Ça revient un peu à une démarche de repère. Un repère c'est ça en fait. Un repère c'est comprendre quelles sont les projections sur des axes orthogonaux. Ça revient un peu à une démarche de repère mais sans tracer le repère. C'est une question d'habitude. Dès que la bonne décomposition par shall, si vous la regardez et que vous la trouvez, ça peut aller très vite. Posez des questions s'il y a besoin et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Améliorer sa géométrie sans coordonnées

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