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Convexité

Le cours explique comment démontrer que le point M est sur la séquente d'une fonction convex F. Pour cela, on utilise les points a et b associés aux réels x et y et un point M défini par des formules. On montre d'abord que l'ordonnée de M est bien sur la séquente en utilisant des calculs et des formules liées aux moyennes pondérées. Ensuite, on montre que M est sur le segment AB en utilisant l'équation d'une droite passant par a et b et en vérifiant que M satisfait cette équation. Enfin, on conclut que l'image de la piscine de M par la séquente est au-dessus de son image par F, ce qui permet de démontrer que M est sur la séquente de F.

Alors, je vais essayer de le faire relativement vite. On prend 2 réels x et y, ça je vous l'ai déjà dit. On prend a et b les points associés. Voilà le petit dessin, je vous l'ai déjà montré plein de fois, mais là on le revoit encore une fois, donc gardez-le bien en tête, parce que je ne vais pas pouvoir l'afficher à l'écran tout le temps, mais c'est ce dessin-là. Et on prend un point M d'ab6 tx plus 1 moins ty, puis tf2x plus 1 moins tf2y. Donc ce point sera sur la séquente. On va déjà essayer de démontrer que ça là, cette ordonnée, c'est bien l'ordonnée qui est sur la séquente. Parce qu'en fait on vous le fait un peu accepter, on vous le dit, j'ai envie de vous le démontrer. Donc si on va regarder où est cette ab6, je vous l'ai déjà expliqué, mais on va bien regarder le fait qu'elle vient entre x et y, et où est cette ordonnée, le fait qu'elle est bien entre f2x et f2y, et qu'elle est d'ailleurs sur... On va montrer d'abord qu'elle est entre f2x et f2y, oui, et montrer qu'elle est bien sur la séquente. Attention, trop souvent c'est un peu hâtif, on va montrer que M appartient bien au segment a, b, très bien. Petit 1, montrons que xm et ym sont bien positionnés, on va montrer que l'ab6 de M et l'ab6 de y sont bien comprises entre les ab6 de a et b et les ordonnées de a et b. Donc c'est répéter un peu ce que j'ai dit, mais proprement. tx plus un moins ty appartient à x et y parce que c'est une moyenne pondérée, dessin. En effet j'ai x et y sur le segment, je vois que quand je prends tx plus un moins ty, c'est une moyenne pondérée. C'est-à-dire que si je prends t et y a un demi, je trouve bien le milieu, donc parfaitement pondéré, un demi, un demi. Mais si je prends t qui varie, ça varie un peu. De la même manière, ça c'est une moyenne pondérée de f2x à f2y, je suis donc bien entre f2x et f2y. Pareil, j'ai un demi plus un demi ici, le milieu qui est ici. Donc là je sais qu'en gros, ab6 ordonnées de M sont bien entre ab6 ordonnées de a et b. Donc je suis content. Et maintenant je veux voir que c'est bien sur le segment, c'est ce que je montre dans un deuxième temps. Vérifions que M est bien sur la droite. En fait on a vu que si elle est sur la droite, ab, ça sera donc sur le segment, vu qu'on sait que c'est entre a et b comme j'ai montré avant. L'équation de ab c'est y, grand y, égal alpha grand x plus beta. En effet c'est une droite. Je prends alpha qui est le coefficient directeur. Je sais que j'ai un point a et un point b. En troisième on a vu que la pente d'une droite qui passe par a et b, c'est la variation des ordonnées divisée par la variation des ab6. Et ensuite pour trouver beta, qu'est-ce que je fais? J'utilise le fait que le point a est bien sur la droite. Donc je mets dans l'équation ici, y, grand y, égal alpha, grand x plus b, beta pardon, je mets le fait que je sais que le point a d'ab6x d'ordonnée f2x est sur la droite. Donc j'enplace f2x et il y a alpha x plus beta, alpha petit x plus beta. Et ça me donne beta en fait. Donc beta égal f2x moins alpha, qui vaut ça que je mets ici, fois x. Grand y et donc il y a cette pente qui se factorise avec un des bouts du bêta, pour faire grand x moins petit x, plus petit f2x. N'oubliez pas que la variable ici de la droite, de l'équation de la droite affine, c'est grand x et c'est grand y qui doit être là. F2x et f2y sont des points fixes, ce sont les ab6 de a et b. M est-il sur cette droite? Qu'est-ce qu'il faut faire pour vérifier que M appartient bien à cette droite? Il faut remplacer l'ab6 de M à la place du grand x, et espérer qu'à la fin du calcul, on retrouve bien comme grand y, comme ordonnée image, l'ordonnée de M qu'on s'est donnée depuis le début. C'est ce qu'on va faire ici en un calcul. C'est un peu long, mais on va le faire. On intègre ici Tx plus 1 moins Ty. Est-ce que quand on le met, ça donne bien Tf2x plus 1 moins Tf2y, qu'il y ait l'ordonnée de M? Si ça donne ça, ça veut dire qu'on est bien sur la droite. Allons voir ce que ça donne. J'accélère un peu. Je mets Tx plus 1 moins Ty à la place du grand x, et je vois où j'arrive. J'espère arriver au y de M. J'avance, je vois que ça se simplifie ici. Vous pouvez mettre pause si vous voulez le détail des calculs. Y moins x ici en factorisant, ça va finir par se factoriser et se simplifier. Ensuite, je peux mettre ensemble les termes. 1 moins T fois ça, je vois qu'il y a des f2x qui vont se simplifier. Et il reste Tf2x plus 1 moins Tf2y. Ouf, c'est bien! La piscine de Y. J'ai donc bien montré que l'image de la piscine de M par l'équation de la droite AB donne exactement l'ordonnée de M. Donc M est sur la droite. Conclusion, maintenant c'est la démonstration simple. M appartenant au segment AB qui est la séquente de CF. F étant convex, AB, le segment, est au-dessus de CF. Donc l'image de la piscine de M par la séquente est au-dessus de son image par F. Et donc on peut écrire ce truc là.

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