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En résumé, si f est une fonction deux fois dérivable et que f'' est positive sur un intervalle i, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle. La démonstration se fait en posant une fonction phi qui compare la courbe de f et la tangente en un point a, et en montrant que cette fonction est toujours positive ou nulle grâce à l'étude de sa dérivée. Il faut bien comprendre chaque étape de la démonstration et être capable de la reproduire sur une feuille blanche.

Cette vidéo est un petit peu la suite de la vidéo précédente. Cette fois-ci, on va se pencher un peu plus sur des propriétés graphiques et le lien entre f'' et convexité. Alors, si f est une fonction supposée deux fois dérivable, alors on peut parler de f'' ou de f'', telle que sa dérivée seconde existe, donc qui s'appelle f''. Je vais plutôt dire ça. Si f'' est positive sur i, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ces tangentes. Alors vous allez voir ici, ça nous rappelle un peu la définition de la convexité et concavité, mais nous ce qu'on avait vu c'était la courbe est au-dessus de ces cordes ou de ces séquentes. Là c'est autre chose, on est au-dessus des tangentes. On va le démontrer, la démonstration est au programme, donc je vous invite à me rejoindre pour la démonstration. J'ai remis ici le texte du théorème qu'on démontre. Alors, pour la démonstration ça va être simple, on va déjà faire une première étape qui est l'introduction. C'est un peu pour moi une manière de vous montrer l'architecture de la démonstration, ou un peu l'échafaudage qu'il faut construire tout le temps pour vous sur votre feuille. Donc l'idée c'est toujours de bien écrire quelles sont les hypothèses, le point de départ, et vers quoi on veut arriver. Souvent en fait, juste bien établir ce que sont les hypothèses de départ et quelle est la chose qu'on veut montrer vous permet de bien vous concentrer et de ne pas faire d'erreur. Ça c'est un peu notre brouillon donc, ce que vous devez écrire au brouillon pour comprendre, c'est tout ce que je vais mettre là. On va utiliser le fait qu'on nous dit que la dérivée de seconde est positive. On peut traduire ça, quelle que soit x sur l'intervalle, f seconde de x est positive ou nulle. C'est en vert donc, je mets en rouge ce qu'on veut montrer. Ce qu'on veut montrer c'est que la courbe représentative de f, on va l'appeler grand C majuscule f, est au-dessus de cette tangente. Donc pour un a sur l'intervalle i, on veut montrer que la courbe représentative de f, cf, est au-dessus de T indice a, la tangente au point a. Donc si je fais un petit dessin, hop, ici j'ai f en bleu, et j'ai la tangente en a en rouge. Ça va vous rappeler ça des cours de première, où on faisait la définition de la tangente, et on mettait toujours un peu une tangente comme ça. Donc ça donne quoi mathématiquement? On va se rappeler l'équation de la tangente notamment. Je veux que quelle que soit x appartient à i, la valeur de ma fonction f, qui est la courbe et au-dessus, la valeur de la fonction f en un point x, donc f de x, doit être au-dessus de la même valeur mais sur la tangente. Ça veut dire que je veux comparer et la courbe d'un côté pour un x donné et la tangente. Or l'équation d'une tangente c'est quoi? C'est f' de a fois x-a plus f de a. Donc l'équation de cette tangente rouge ici, c'est pente f' de a, coefficient directeur f' de a, et ensuite fois x-a plus f de a. Un petit réflexe général, donc là je vous donne un peu la méthode pour démontrer une inégalité. Déjà on met tout du même côté, premier point. Tout du même côté ça veut dire si il faut on fait moins tout le terme de droite, comme ça on se retrouve avec 0 à droite, et puis un truc complet à gauche. Ensuite on pose une fonction. C'est-à-dire que tout l'ensemble qui va être à gauche, on va l'appeler, je ne sais pas, g de x, f de x, on pose une fonction. Et ensuite on fait l'étude. Et quand on fait l'étude de cette fonction, on espère pouvoir montrer qu'elle a toujours le même signe par exemple. Laissez-moi illustrer, ce sera beaucoup plus facile. Si je reviens ici. Oups, on va voir c'est la démonstration en tant que telle. Petit 1. Petit 1, la première étape c'est mettre tout du même côté. Donc on avait f de x supérieur ou égal à ce truc-là, je mets tout du même côté en faisant moins ce truc-là. Comme ça de l'autre côté j'ai plus que supérieur ou égal à 0. Deuxième étape, posons une fonction. Donc je pose phi indice a de x, phi parce que f était déjà pris, donc j'ai mis une grande phi grecque, c'est genre le f grec si vous voulez. Indice a parce que je suis au point a, je prends la tangente au point a. Donc f de x moins la valeur de la tangente au point x considéré. Très bien. Petit 3, étudions cette fonction. C'est parti. On va montrer que phi a est dérivable, en effet f est dérivable, et ça c'est une droite. Cette chose-là, cette équation, c'est une équation de droite du premier degré, c'est un genre de ax plus b. Donc ça est dérivable. Comme phi est dérivable, on peut écrire phi prime de a égal, f prime de x facile, la deuxième étant une droite affine, on n'a plus que le coefficient directeur qui est donc f prime de a. Donc, je vais pouvoir dire, quand je fais mon étude de fonction, je dois vérifier quand est-ce que ma dérivée est positive ou nulle pour faire un tableau, un tableau avec le signe de la dérivée, puis un tableau en dessous, la deuxième étape, avec les variations de la fonction. Donc je vais dire phi a prime de x est positif ou nul, si et seulement si, ce truc-là est positif ou nul. Si et seulement si, f prime de x est plus grand que la f prime de a. Très bien. Or, qu'est-ce qu'on nous a dit? On m'a dit que f seconde, donc f prime prime, est positive. Mais si f prime prime est positive, c'est-à-dire que c'est la dérivée de f prime. Mais si la dérivée d'une fonction est positive, c'est-à-dire que la fonction dont on parle est croissante, f prime prime étant la dérivée de f prime, alors f prime est croissante vu qu'f prime prime est positive. Ça c'est très bien, parce que f prime prime étant croissante, pardon, f prime étant croissante, je peux conclure, à partir de la dernière inégalité qu'on écrit ici, je vais pouvoir conclure facilement, alors laissez-moi passer à la suite, que la dérivée phi indice a prime de x est positive ou nul, si et seulement si, petit x supérieur ou égal à grand a. En effet, la fonction f prime étant croissante, j'aurais f prime de x plus grand ou égal à f prime de a, si et seulement si, petit x est plus grand ou égal à a. C'est la définition de la croissance d'une fonction. Et donc, je peux enfin tracer mon petit tableau de variation. Voilà mon tableau de variation de phi. Phi prime, on a dit que c'était nul en a, positif au-dessus. Si c'est positif au-dessus de a, forcément c'est négatif en dessous. Et comme il y a un super haut égal, on voit que si je mets 0, c'est bien quand x vaut a que la dérivée vaut 0. C'est donc une fonction décroissante, puis une fonction croissante. Elle décroît jusqu'à a et elle croît après a. Très bien. On va regarder ce qui se passe au point a. Si vous voyez, là je n'ai pas encore mis la valeur, on va s'interroger sur quelle est la valeur de phi en a. Mais qu'est-ce qui se passe en a si vous vous rappelez? En a, c'est le point où la courbe et la tangente se touchent. On a dit qu'on considérait la tangente en a. C'est-à-dire que la fonction f et la tangente ont la même valeur vu que c'est là qu'il y a un point de tangence entre les deux. C'est exactement le même point qui appartient à la courbe et à la tangente. Donc, phi de a, vu que c'est égal à la valeur sur la fonction f moins la valeur sur la tangente, ce sont les mêmes en ce point-là, on sait que phi de a vaut 0. On est content, parce que là on voit dans le tableau de relation, qu'est-ce qu'on voit? On a une fonction qui descend, descend, descend, elle vaut 0 tout en bas et elle remonte. Là, j'ai conclu que, quel que soit x appartient à i, grand phi de x était positif ou nul. La démonstration est terminée. Alors si vous n'êtes pas sûr, il faut que je remonte pour vous montrer pourquoi la démonstration est terminée. C'est parce que notre but était de montrer que f de x était toujours au-dessus de cette chose-là. Soit que f de x moins ça, c'était positif. Et donc ça, c'était montrer que phi de a était positif, ce qu'on a fait avec l'étude de fonction. Voilà pour la démonstration, j'espère que c'était clair. Essayez de bien la reprendre, voir bien les étapes une par une, le PDF sera disponible. Et vous avez vu, j'ai bien décomposé pour expliquer les différentes étapes. Bien maîtriser cette feuille, à partir d'une feuille blanche, savoir reprendre chacune des étapes, bien comprendre la logique, savoir les réécrire, c'est vraiment très important ici. Et ça va un peu déterminer si vous avez bien saisi ce qui se passe, d'être capable de ressortir tout ça à partir de rien. Donc tant que vous n'êtes pas capable, ça peut prendre le temps qu'il faut, ça peut prendre le temps de recommencer, réessayer, mais tant que vous n'êtes pas capable de sortir cette démonstration étape par étape, proprement, avec potentiellement la rédaction de votre prof, si il y a des choses qu'il préfère par rapport au mien, bien sûr, tant que vous n'êtes pas capable de la ressortir entièrement sur une feuille blanche, vous la connaissez pas vraiment.

Démo au programme : convexité et f''

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