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Dans cette vidéo, l'auteur démontre le théorème fondamental de l'analyse, qui stipule que pour une fonction continue f sur l'intervalle [a, b], la fonction F définie comme l'intégrale de f entre a et x est dérivable, avec pour dérivée f. Il explique également que toute fonction continue sur un intervalle aura des primitifs sur cet intervalle. La démonstration passe par l'utilisation des propriétés des intégrales, de la méthode d'approximation par des rectangles et du théorème d'encadrement. Il est important de comprendre cette démonstration pour l'examen.

Dans cette vidéo, je vais vous démontrer le théorème fondamental de l'analyse qu'on a pu voir intuitivement dans une vidéo précédente. Alors je le recite ici, théorème fondamental, soit f, une fonction continue sur a, b, positive, c'est plus facile pour la démonstration. On définit la fonction F comme l'intégrale entre a, le bord de l'intervalle, et x, un point quelconque de a, b, de la fonction f. Cette fonction F, définie telle que F de x égale cette intégrale. Cette fonction F est dérivable, premièrement, et elle a pour dérivé f. Petite remarque qui va être très utile dans la démonstration, F de a, c'est quoi? C'est l'intégrale, donc je remplace le petit x ici, on a petit x, petit x, donc F de a, c'est l'intégrale entre a et a. Mais l'intégrale entre a et a, alors peut-être qu'on le verra dans une vidéo de propriété, mais je vous le dis maintenant, l'intégrale entre a et a, c'est l'intégrale pour un rectangle de largeur 0 en fait. C'est-à-dire qu'on a un rectangle infiniment fin, donc l'intégrale entre a et a d'une fonction, c'est 0. Il n'y a pas d'air là, il n'y a que dalle. Donc je vous le dis ici, on en aura besoin dans la démonstration. Conséquence de ce théorème, toute fonction qui est continue sur un intervalle de R aura des primitifs sur cet intervalle. Bah oui, parce qu'on a dit que pour une fonction continue quelconque, on en avait au moins une. Donc forcément, il y en aura plein. Je vais vous montrer maintenant la démonstration directement. Alors, je vous ai écrit le théorème là-haut à nouveau. Donc on a le théorème ici, et on va montrer qu'elle est dérivable, etc. Soit x appartient à un petit a, b. On va prendre un x quelconque. Ce qu'on veut montrer, c'est que la fonction est dérivable au point x. Donc définissant la dérivabilité, il faut étudier la limite du taux d'accroissement. Si le taux d'accroissement de la fonction admet une limite finie, alors la fonction sera dérivable. Donc pour petit h positif, on définit le taux d'accroissement suivant. On veut montrer que limite quand h est envers 0 de f de x plus h moins f de x sur h égale petit f de x. Puisqu'on veut que non seulement elle soit dérivable, qu'on ait donc une limite finie, mais on veut que cette limite finie soit pas n'importe quoi, on veut que ce soit petit f de x. Donc, ce qu'on va commencer à faire, c'est s'intéresser à la chose la plus compliquée de cette expression, c'est-à-dire grand f de x plus h moins f de x. On va essayer d'exprimer ça de manière à avancer dans le calcul. Donc, grand f de x plus h moins grand f de x. Je prends la définition de grand f qui est là-haut, et je l'applique à grand f de x plus h, donc c'est l'intégral entre a et x plus h de f de t dt, et à grand f de x lui-même qui est l'intégral entre a et x. Je vais utiliser quelques petites propriétés sur les intégrales. Moins l'intégral entre a et x, c'est égal à plus l'intégral entre x et a. Il y a un rapport de taille moins 1 entre l'intégral entre a et b, et l'intégral entre b et a. Si on la regarde dans un sens dans l'intervalle ou dans l'autre sens, on met ainsi de moins. C'est la première chose que je vais faire ici. Je remplace et je dis, vous verrez la vidéo sur les propriétés intuitives, que je peux remplacer ça par l'intégral entre x et a. Qu'est-ce que je remarque? Je remarque, pour le remarquer je vais peut-être faire un petit switch, donc je vais changer de place les deux intégrales, mais je remarque quand même que, entre ici, entre x et a, et a et x plus h, j'ai cette intégrale pour laquelle la fin de l'intervalle d'intégration est un a, et cette intégrale là pour laquelle le début de l'intervalle est un a. Là tout de suite, je vais penser à la propriété de Schall. On va essayer de penser à ça, donc c'est Schall qu'on veut appliquer. Je vais décaler un peu ma fiche. Voilà. Donc c'est Schall qu'on va vouloir appliquer ici, parce qu'on sait que quand on part sur un intervalle entre x et a, puis on demande ensuite l'erreur entre a et x plus h, je peux dire directement que ça c'est égal à l'erreur entre x et x plus h. C'est ce qu'on fait ici. On dit que cette chose c'est égal à l'erreur entre x et x plus h. Très bien. Concentrons-nous là-dessus maintenant. Qu'est-ce que c'est que l'erreur entre x et x plus h de la fonction f? Je vais m'aider d'un dessin pour faire ça. Donc si j'ai ma fonction f, qui est croissante positive, je peux tracer, j'ai x ici, alors il est écrit en petit, je suis désolé pour ça, en petit, x ici et x plus h ici. Ce que je peux faire c'est encadrer, comme on a déjà vu dans une vidéo précédente, je peux encadrer l'erreur sous ma courbe entre x et x plus h par l'erreur de deux rectangles. Le rectangle vert à gauche et le rectangle plus gros, vert cumulé avec le petit bout rouge. Donc le rectangle qui est composé des deux rectangles vert et rouge, le grand. Je peux dire que mon erreur sous la courbe est comprise entre l'erreur de ce rectangle vert unique et l'erreur de ce rectangle bicolore, vert plus rouge. Quelle est la largeur et la longueur de ces rectangles? Les deux rectangles ont une largeur h. Entre x et x plus h, j'ai une largeur h, comme vous voyez ici. Par contre leur hauteur va être différente. Pour le rectangle vert uniquement, je vois que la hauteur c'est le point sur la courbe ici, je vois que là pour x, je m'arrête au point sur la courbe ici, donc c'est f de x. x plus h ça va être la même chose, mais pour le rectangle rouge. Donc disons, pour le rectangle vert, je vois que j'ai une hauteur f de x, donc f de x ici. Pour le rectangle qui va jusqu'en haut là-haut, je vois que c'est à x plus h que je dois m'intéresser. Quand je monte jusqu'en haut, je sais que la hauteur totale, je m'arrête sur la courbe, donc à la valeur f de x plus h. C'est pour ça que j'ai une hauteur f de x plus h ici. Peut-être que j'étais très long pour expliquer ce truc de hauteur, mais c'est important de le comprendre. Donc c'est quoi l'air d'un rectangle? C'est la largeur fois la longueur. Donc l'air de ce rectangle là c'est f de x fois h, l'air de ce rectangle-ci c'est f de x plus h fois h. Donc voilà, c'est ce que je peux écrire. J'ai donc f de x fois h, qui est plus ou égal à... Bah oui, tout ça depuis tout à l'heure c'était le calcul de F de x plus h moins F de x, n'oubliez pas. Plus petit que ça, plus petit que F de x plus h fois h, l'air de ce rectangle-là. Ça c'est magnifique parce que moi ce qui m'intéresse vraiment c'est le rapport. F de x plus h moins F de x divisé par h, c'est le taux d'accroissement. Là je vois que je peux le faire apparaître en divisant par h partout. H étant positif strict, il n'y a pas de problème d'inégalité. Donc si je divise par h de chaque côté, sur les trois côtés de l'inégalité, j'obtiens f de x, qui est plus petit que le taux d'accroissement au point x de la fonction F, qui est plus petit que F de x plus h. Or, n'oubliez pas, f est continu. Donc qu'est-ce que je vais pouvoir dire? Je vais pouvoir dire que comme F est continu, la limite de F de x plus h quand h tend vers 0 est bien égale à F de x. Ce ne serait pas vrai si F n'était pas continu, mais c'est vrai dans ce cas-là. Donc là vous le voyez en mille j'imagine. Qu'est-ce que j'ai d'un côté? J'ai petite f de x, de l'autre côté j'ai un truc qui va converger vers petite f de x. Donc j'ai un encadrement de quelque chose par deux valeurs qui vont converger vers une unique valeur, sur les deux expressions qui vont converger vers une même valeur. F de x à gauche, et ça, ça sera F de x à droite. C'est encadré, c'est le théorème d'encadrement. Avec le théorème du gendarme, le théorème d'encadrement, on peut l'appeler de deux manières. Je vais pouvoir dire que la limite de ce truc-là va être F de x. Donc la limite de mon taux d'accroissement F de x plus h moins F de x divisé par h va être égale quand h tend vers 0 par le théorème d'encadrement, théorème du gendarme, à F de x. J'ai donc démontré deux choses. Un, que la fonction F est dérivable au point x, pour un point x quelconque de l'intervalle a, b. Donc super. Et que son nombre dérivé vaut F de x. C'est super, c'est démontré. Le cas au programme, c'est uniquement pour la fonction f qui est croissante, donc on peut s'arrêter là-dessus. Et on pourrait préciser la démonstration en prenant h négatif. Ce sera en fait exactement le même raisonnement. Donc on peut s'arrêter là et dire que c'est bon. Si on prend un h positif ou un h négatif, on refait juste le même process. J'espère que cette démonstration a été claire. Je pense que c'est bien de la connaître, il faut la connaître. Elle est exigeable. Donc retenez bien les différentes étapes, beaucoup de petites propriétés au début, puis ensuite, utilisation de ce qu'on a vu comme méthode d'approximation et d'encadrement par des rectangles, pour finir avec un brave terrain des gendarmes. Posez des questions dans la FAQ si vous avez encore des doutes. Je vous dis à la prochaine pour une prochaine vidéo.

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