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Repérage et Problèmes de Géométrie

Dans cet exercice, nous devons transvaser une sphère remplie d'eau dans un cylindre de base de 4cm de diamètre et de hauteur 4cm. Avant de commencer, nous devons calculer les volumes de la sphère et du cylindre. Le volume d'une sphère de rayon R est de 4/3 π R³, tandis que le volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur H est de H x π R². Nous avons donc calculé que le volume de la sphère est d'environ 33,51 cm³ et le volume du cylindre est d'environ 50,26 cm³. Nous cherchons à présent la hauteur à laquelle l'eau remplira le cylindre. Nous avons calculé que la hauteur de l'eau sera de 8/3 cm en égalant le volume de l'eau au volume de la sphère.

Dans cet exercice, on va utiliser un peu les formules de volume pour trouver finalement une hauteur qui va nous intéresser. Alors si on reprend un peu le contexte de cet exo, le problème c'est qu'on a une sphère de diamètre 4 cm qui est remplie d'eau et on va la transvaser dans un cylindre qui a une base de 4 cm de diamètre et une hauteur de 4 cm. Alors, avant de se lancer dans le problème, on va avoir besoin de calculer les volumes aussi bien de la sphère que du cylindre, donc on va faire un petit rappel sur les formules de volume. Voilà, le volume d'une sphère de rayon R c'est 4 tiers de pi R cube et le volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur H, c'est H fois pi R carré. Donc en gros, H fois l'air de la base du cylindre. Alors maintenant, si on fait un petit schéma pour regarder un peu ce qui se passe, là on a notre sphère. Donc la sphère, on nous dit qu'elle est de diamètre 4 cm, donc ça veut dire que son rayon du coup, c'est la moitié, son rayon c'est 2 cm, et donc si on veut calculer le volume de la sphère, on va l'appeler Vs, on applique la formule tout simplement, donc c'est 4 tiers de pi fois le rayon O cube, et ça, ça nous fait 32 pi sur 3 cm cube. Alors pour avoir un ordre d'idée, ça fait à peu près 33,51 cm cube. Donc on va faire le même travail pour le cylindre. Donc le cylindre, le rayon, c'est pareil, c'est 2 cm, la hauteur c'est 4 cm, on applique la formule, on trouve 16 pi cm cube, et ça fait à peu près 50,26 cm cube. Alors déjà tout va bien parce que le but c'est quand même de transvaser ce qu'il y a dans la sphère dans le cylindre, donc le cylindre a une plus grande contenance, donc ça ne va pas déborder, c'est déjà un bon point à respecter. Alors maintenant on va voir un peu ce qu'on cherche, parce que ce qu'on cherche c'est quand on a mis la sphère dans le cylindre, ça va remplir une certaine quantité d'eau, et ce qui nous intéresse c'est de savoir à quelle hauteur va être remplie un peu ce cylindre. Donc si on fait un schéma pour voir un peu ce qui se passe, là on a notre cylindre, on le remplit d'eau, le diamètre fait toujours 4 cm, et cette fois-ci la hauteur, alors là on a regardé la hauteur du coup de remplissage, donc ça veut dire là où s'arrête l'eau, on va l'appeler h', parce que c'est la hauteur qu'on cherche. Alors, cette figure en bleu, donc ce petit morceau de cylindre, en fait c'est un cylindre de rayon 2 cm du coup, et de hauteur h'. Donc le volume de l'eau, on peut le calculer en utilisant la formule du volume du cylindre, donc c'est h' fois pi fois 2², 2 c'est le rayon, et ça, ça nous fait 4 h' fois pi. Sauf que, ce qu'on sait c'est que le volume de l'eau, en fait, c'est le volume de la sphère, parce que l'eau, c'est toute l'eau qui était contenue dans la sphère. Et donc en écrivant l'égalité que le volume de l'eau c'est le volume de la sphère, on remplace par ce qu'on a trouvé, donc ça veut dire que 4 h' fois pi est égal à 32 pi sur 3, et bien là, miracle, en fait ça nous fait une équation en h', parce que c'est ce qu'on cherche, h' c'est la hauteur de l'eau, ça nous fait une équation en une inconnue, on sait résoudre, on va commencer tout simplement par simplifier par pi, ce qui va nous faire 4 h' égale 32 sur 3, et donc en divisant de chaque côté par 4, on trouve que h' est égal à 8 sur 3. Et donc une petite phrase de conclusion, dans le cylindre, l'eau atteint la hauteur de 8 sur 3 cm.

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