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Fonctions

Généralités et Fonctions Usuelles

Dans cet exercice de mathématiques, on apprend comment trouver les antécédents d'un nombre par une fonction en résolvant l'équation f(x) = k. Dans l'exemple présenté, la fonction f(x) est explicitement définie comme 2x + 7 au carré moins 4 et on cherche à trouver les antécédents de 6. Après avoir résolu l'équation, on factorise l'expression pour obtenir un produit de facteurs nul et on trouve deux solutions possibles : x = racine de 5 moins 7 et x = moins racine de 5 moins 7. Ces solutions représentent les antécédents de 6 par la fonction f.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment faire pour déterminer le ou les antécédents d'un nombre par une fonction quand on en connaît son écriture explicite, comme ici. Alors, la méthode pour faire ça, en fait, c'est pour trouver les antécédents d'un nombre par une fonction, on résout l'équation tout simplement f de x égale k. Donc c'est ce qu'on va faire. Ici, notre k, c'est 6, et f de x, c'est cette écriture-là. Donc f de x égale 6, ça équivaut à 2 fois x plus 7 au carré moins 4 est égal à 6, d'accord? Donc c'est l'écriture explicite de f. Donc il ne nous reste plus qu'à résoudre cette équation. Ça peut faire un peu peur parce qu'il y a du carré, mais on va voir comment on peut s'en sortir. Donc là, on va tout passer de l'autre côté parce que pour l'instant, une écriture au carré, ce qu'on peut faire, c'est factoriser, éventuellement avec une identité remarquable, et se ramener à un produit de facteur nul. Donc c'est ça qu'on va faire. On va tout passer de l'autre côté, au lieu d'isoler x parce qu'on ne sait pas encore faire, on va tout passer de l'autre côté et se ramener à un égal 0, et ensuite essayer d'avoir une expression factorisée pour avoir un produit de facteur nul. Donc ça nous fait 2 fois x plus 7 au carré moins 10 est égal à 0. On voit qu'on peut factoriser par 2 parce qu'on a 2 ici, 2 ici. Donc ça nous fait 2 facteur de x plus 7 au carré moins 5, d'accord? Parce que 10, c'était 2 fois 5. Donc il y a un 2 qui est parti devant la parenthèse, et il reste 5 du coup. Alors là, on pourrait dire que, bon, soit 2 est égal à 0, soit ça est égal à 0. Ce qui est un peu problématique parce que ça égal à 0, c'est pareil, on n'est pas forcément à l'aise avec ça. Là, il faut reconnaître l'identité remarquable a moins b au carré, avec a qui vaut x plus 7 et b qui vaut racine de 5, d'accord? Parce qu'on a ça au carré moins 5. 5, c'est racine de 5 au carré. Ça, c'est quelque chose qu'il faut savoir faire. Quand on veut forcer un peu cette identité remarquable, et qu'on n'a pas de carré soit ici, soit ici, en fait on prend la racine et on dit que 5, par exemple, c'est racine de 5 au carré, et donc on a bien cette écriture-là qu'on peut après factoriser, ce qui nous donne, après factorisation, du coup, ça nous fait 2 fois x plus 7 moins racine de 5 fois x plus 7 plus racine de 5 est égal à 0. D'accord? Donc ça, c'est a moins b facteur de a plus b. Voilà, tout simplement, c'est la forme factorisée de cette identité remarquable. Et bien là, on a un produit de facteur qui est nul, donc petit rappel, un produit de facteur nul est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. Là, il y a un, deux, trois facteurs, donc il faut vérifier chacun des cas. Donc soit 2 est égal à 0, soit le deuxième, donc x plus 7 moins racine de 5 est égal à 0, soit le troisième, x plus 7 plus racine de 5 est égal à 0. Bon, rapidement, 2 est égal à 0, il n'y a pas de solution, ça, on sait très bien que ça n'arrive jamais. Ou, deuxième situation, donc c'était celui-ci, x est égal à racine de 5 moins 7, et dernière situation, x est égal à moins racine de 5 moins 7. Donc voilà, on a deux solutions, donc celle-ci et celle-ci, et on se rappelle que les solutions, c'était les solutions d'une équation, mais pas n'importe laquelle, c'était les solutions de cette équation qui, en fait, nous donnait comme solution les antécédents de 6, ici, par la fonction f. Donc, finalement, les antécédents de 6 par f sont racine de 5 moins 7 et moins racine de 5 moins 7.

Trouver un antécédent

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