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Géométrie

Droites et Systèmes d'équations

Dans cet exercice, on apprend à résoudre un système d'équations en utilisant la méthode de substitution et la méthode par combinaison. Nous avons un système d'équations, 2x + 5y = 8 et -6x + 3y = -5, que nous résolvons en utilisant la méthode par combinaison. Nous multiplions la première ligne par 3 pour obtenir 6x + 15y = 24 et nous la combinons avec la deuxième ligne. Nous éliminons ensuite les x en ajoutant L1 et L2 et nous trouvons la valeur de y. Nous remplaçons ensuite y dans l'une des équations pour trouver x. La solution du système est donc le couple xy qui est 13 sur 12 et 7 sur 6.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment résoudre un système d'équation. Alors, ce qu'il faut savoir par cœur, c'est les méthodes de résolution de systèmes d'équation. Donc on a une première méthode par substitution. Donc cette méthode consiste à exprimer sur une ligne, donc une variable, en fonction d'une autre, et ensuite remplacer cette expression dans la deuxième ligne. Et ensuite, la méthode par combinaison, qui consiste à faire des combinaisons linéaires sur les lignes. Donc les combinaisons linéaires, ça veut dire additionner ou soustraire les lignes en les multipliant éventuellement chacune par des nombres, mais pas entre elles. Et le but va être d'éliminer une inconnue pour se ramener à une équation à une inconnue. Alors regardons un peu le système qu'on a. On a 2x plus 5y égale 8, et deuxième équation, moins 6x plus 3y égale moins 5. Donc on pourrait le faire par substitution, en se disant, bon bah par exemple je vais isoler x, donc je divise tout par 2 et je passe ça de l'autre côté, et voilà j'ai x égale quelque chose avec du y, et ce que j'obtiendrai, je le remplace là-dedans pour avoir une équation avec du y. Mais tout de suite en faisant ça, on s'aperçoit qu'on va avoir du 5 divisé par 2, etc. Des fractions qui ne vont pas être faciles à utiliser, on préfère pas travailler avec ça. Par contre, ce qu'on voit, c'est que si on multiplie 2x par 3, on va avoir 6x qui va très bien s'annuler avec moins 6x, et du coup c'est ce qu'on va faire. Donc on multiplie la première ligne par 3, donc attention quand on multiplie une ligne par un nombre, il faut bien multiplier à gauche et à droite par ce nombre, sinon on perd l'égalité. Donc c'est ce qu'on va faire, on va multiplier la première ligne par 3, donc ça va nous faire 6x plus 15y égale 24, donc ça c'est notre première ligne, et la deuxième ligne on n'y a pas touché, et donc c'est L2, la deuxième ligne. Donc là maintenant l'étape d'après, c'est de supprimer les x. Alors pour ce faire, on va regarder les nombres qui sont devant. Donc on s'est arrangé pour avoir la même valeur numérique devant les x, la valeur numérique c'est si on ne prend pas en compte le signe. Là on a 6, on a 6, d'accord, donc il y a un signe, mais on a dit on ne prend pas en compte le signe, donc tout va bien. Maintenant il faut savoir quelle opération on va faire pour que ça se compense. Donc est-ce qu'on fait 6 moins 6, ou est-ce qu'on fait moins 6 moins 6, voilà, il faut savoir un peu ce qu'on fait. Et on voit qu'en fait quand on les additionne, on va avoir 6x plus moins 6x, donc ça va faire juste 0, ça va se compenser, donc en fait on va faire L1 plus L2, et donc en faisant ça, les x vont disparaître, on n'aura plus que du y. Donc on fait ça, L1 plus L2, alors pour faire ça, on va faire ce qui est à gauche plus ce qui est à gauche égale ce qui est à droite plus ce qui est à droite. Donc en gros on va faire un rectangle vert plus un rectangle orange est égal à un rectangle vert plus un rectangle orange, parce qu'on va respecter l'égalité comme ça. Donc c'est ce qu'on a. Donc là, on se retrouve avec 6x plus 15y plus moins 6x plus 3y est égal à 24 plus moins 5. Et donc en simplifiant, les x s'en vont, et donc il nous reste 18y est égal à 21, et donc ça fait y est égal à 21 sur 18, ce qui est 7 sur 6, en simplifiant par 3. Donc maintenant qu'on a trouvé y, en fait on va juste revenir à une des deux lignes, on va prendre la première par exemple, en remplaçant y par la valeur qu'on a trouvée, du coup ça nous fera encore une équation en une inconnue, cette fois-ci inconnue sera x. Donc on a la première ligne qui était 2x plus 5y est égal à 8, et donc si on remplace y par 7 sur 6, ça nous fait donc 2x plus 5 fois 7 sur 6 est égal à 8. Donc voilà, on fait une résolution d'équation classique, on passe ça de l'autre côté, ça nous fait 2x est égal à 8 moins 35 sur 6, mise au même dénominateur, donc 2x est égal à 48 moins 35 sur 6, et donc 2x est égal à 13 sur 6, donc pour finir on divise par 2, ça nous fait x est égal à 13 sur 12. Donc on a trouvé notre x, on a trouvé notre y tout à l'heure, donc en fait on a trouvé la solution du système, donc le système a pour solution le couple xy qui est 13 sur 12 et 7 sur 6.

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