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Nombres et calculs

Nombres et Calcul Numérique

Le texte pourrait être résumé ainsi : Apprenez à simplifier une fraction compliquée en utilisant la décomposition en facteurs premiers. Divisez chaque nombre composant la fraction par les nombres premiers jusqu'à ne plus pouvoir le faire. Comptez le nombre d'occurrences de chaque nombre premier dans la décomposition. Simplifiez fraction par fraction chaque nombre premier commun. Réécrivez la fraction simplifiée en utilisant les décompositions en facteurs premiers. Dans cet exercice, la fraction 18522/39272 est simplifiée en 7/132.

Alors dans cet exercice, le but va être de simplifier une fraction qui paraît assez compliquée comme ça. Donc le premier truc à faire quand on veut simplifier une fraction, c'est de faire la décomposition en facteur premier des deux nombres qui composent cette fraction. Donc on va commencer avec le numérateur, donc 18 522. Donc on va en faire sa décomposition en facteur premier, donc on a déjà vu comment on fait ça, là on va faire pour lui. Donc on voit que ça se termine par 2, c'est un nombre pair, donc c'est divisible par 2. Donc c'est 2 x 9 261. 9 261 pour le coup, ce n'est pas un nombre pair, donc ce n'est pas divisible par 2. Donc on va voir, est-ce que c'est divisible par 3? Donc pour ça, on rappelle, pour savoir si un nombre est divisible par 3, on fait la somme des chiffres qui composent ce nombre. Si cette somme est divisible par 3, le nombre est divisible par 3, sinon ce n'est pas le cas. Donc là on va voir, donc 9 plus 2, ça fait 11, plus 6, ça fait 17, plus 1, ça fait 18. 18, c'est 3 x 6, divisible par 3, donc 9 261 est divisible par 3. Et ça nous fait 3 x 3087. Pareil, on va tester si 3087 est divisible par 3. On fait la somme de ces chiffres. Donc 3 plus 0, ça fait 3, plus 8, ça fait 11, plus 7, ça fait 18. On vient de le voir, 18 divisible par 3. Donc 3087 est divisible par 3. Et donc ça nous fait 3 x 1029. On reteste, 1029, est-ce que c'est divisible par 3? 1 plus 0, ça fait 1, plus 2, ça fait 3, plus 9, ça fait 12. 12 x 3, 4, divisible par 3. Donc 1029 est divisible par 3, et c'est 3 x 343. On teste pour 343. Donc 3 plus 4, ça fait 7, plus 3, ça fait 10, ce n'est plus divisible par 3. Donc on a fini de voir la divisibilité par 3. Maintenant on va voir le nom premier suivant, qui est 5. Donc est-ce que c'est divisible par 5? Donc ça se termine par un 3, donc ce n'est ni un 5 ni un 0, donc ce n'est pas divisible par 5. Le nom premier suivant, c'est 7. Donc on rappelle, pour savoir est-ce que 343 est divisible par 7, la méthode c'est de séparer ici au niveau des unités, donc juste après les unités, de prendre le nombre qui reste sur la gauche, donc ici ce sera 34, d'ajouter 5 fois le chiffre des unités, et voir si le résultat est divisible par 7. Donc là c'est ce qu'on va faire, on va prendre 34 et 3, et on va faire 34 plus 5 x 3, est-ce que c'est divisible par 7? Donc 34 plus 5 x 3, ça nous fait 34 plus 15, et ça fait 49. 49, on reconnaît, c'est 7 x 7. Donc on a bien que 343 est divisible par 7, et du coup c'est 7 x 49. 49, on vient de le voir, c'est 7 x 7, donc on écrit 7 x 7. 7, c'est 7 x 1, donc voilà, on est atterri sur 1. Donc notre décomposition est finie, maintenant il n'y a plus qu'à réécrire. Donc juste avant de réécrire, on rappelle, on va compter le nombre de fois qu'apparaît chaque nombre premier, donc 2, il apparaît une fois, 3, il apparaît trois fois, et 7, il apparaît trois fois. Donc on n'a plus qu'à écrire la décomposition en facteur premier de 18 522, et donc c'est 2 x 3 puissance 3 x 7 puissance 3. Donc voilà pour 18 522, on va passer au suivant maintenant, qui est 39 272. Donc on va recommencer le principe, donc c'est un nombre pair, divisible par 2, c'est parti, donc c'est 2 x 174 636, pardon, et ça pareil, c'est un nombre pair, donc on divise par 2, ça nous fait 2 x 87 318, toujours un nombre pair, donc on divise par 2, ça fait 2 x 43 659, nombre impaire, donc on sait qu'on a fini avec la divisibilité par 2, on va tester la divisibilité par 3. Donc on va additionner tout ça, donc 4 et 6, ça nous fait 10, 3 et 5, ça fait 8, donc plus les 10, 18, plus 9, 27, 27, c'est 3 x 9, donc divisible par 3, donc 43 659 est divisible par 3, c'est parti, ça nous fait 3 x 14 553, on reteste, donc là on a 5 plus 5, ça fait 10, plus 1, ça fait 11, plus 4, ça fait 15, plus 3, ça fait 18, divisible par 3, donc c'est parti, ça nous fait 3 x 4851, on reteste encore, donc ça fait 4 plus 8, ça fait 12, plus 5, ça fait 17, plus 1, ça fait 18, encore une fois, donc ça nous fait 3 x 1617, et 1617, on va encore tester, donc 1 plus 6, ça fait 7, plus 7, 14, plus 1, 15, 15, c'est 3 x 5, donc encore divisible par 3, ce qui nous fait 3 x 539, on teste encore, donc 5 plus 3, ça fait 8, 8 plus 9, ça nous fait 17, 17, ce n'est pas divisible par 3, donc on a fini avec la divisibilité par 3. On regarde maintenant 5, donc ça se termine par un 9, ce n'est pas divisible par 5, parce que ce n'est ni 0, ni 5, donc on va tester la divisibilité par 7. Donc pareil, est-ce que 539 est divisible par 7? Toujours le même critère, on va séparer ici 53 et 9, on va tester est-ce que 53 plus 9 x 5 est divisible par 7? Donc on va voir, 53 plus 9 x 5, ça fait 98, alors 98, soit on le sait, soit on fait le même critère pour voir si c'est divisible par 7. On sépare ici, donc on a 9 et 8, cette fois-ci, donc on va faire 9 plus 8 x 5, est-ce que c'est divisible par 7? Donc 9 plus 8 x 5, ça fait 49, 49, c'est 7 x 7, donc c'est divisible par 7. Ce qui veut dire que 98 est divisible par 7, donc que 539 est divisible par 7. Et donc 539, c'est 7 x 77. Donc 77, bon là clairement c'est divisible aussi par 7, ça nous fait 7 x 11, et 11, c'est un nom premier, donc c'est 11 x 1, et on a fini notre décomposition. Alors pareil que tout à l'heure, l'étape d'après, c'est de compter combien de fois apparaît chacun des noms premiers dans la décomposition. Donc les 2, on en a 3, les 3, on en a 4, les 7, on en a 2, et les 11, on en a 1 du coup. Donc on n'a plus qu'à réécrire la décomposition en facteur premier de 349 272, ce qui nous fait 2 puissance 3 x 3 puissance 4 x 7 puissance 2 x 11. Alors maintenant qu'on a fait ces décompositions en facteur premier, on va les réécrire pour les avoir sous les yeux. Donc voilà les décompositions qu'on a trouvées. Maintenant on rappelle qu'on voulait simplifier la fraction. Donc ce qu'on va faire, c'est réécrire la fraction de base, qu'on veut simplifier, et au lieu d'avoir les écritures en nombre comme ça, on va utiliser les écritures en décomposition en facteur premier du coup qu'on a trouvées. Donc ce qui nous fait cette fraction-là. Alors maintenant, ce qu'on va faire, c'est on va simplifier nombre premier par nombre premier, et on va voir à la fin ce qu'il reste. Donc pour commencer, on peut simplifier en haut et en bas par 2. Donc en haut, il n'y a plus rien, et en bas, il reste 2 puissance 2. Ensuite, on voit qu'on peut simplifier par, à chaque fois, du coup c'est le plus petit des deux, donc on peut simplifier par 3 puissance 3. Donc au-dessus, il ne reste rien, et en dessous, il reste 3. Ensuite, on voit qu'on peut simplifier par 7 puissance 2. En dessous, il ne va rester rien, et au-dessus, il reste 7. Et 11, il n'y a pas de 11 au-dessus, donc on ne va pas pouvoir simplifier par 11 ou une puissance de 11. Donc on n'a plus qu'à réécrire ce qu'il reste. Donc au-dessus, il reste 7, et en dessous, du coup, il reste 2 puissance 2 fois 3 fois 11. Donc voilà, notre fraction est simplifiée, on va juste la réécrire en développant un peu ce calcul, pour que ce soit un peu plus lisible, et donc ça nous fait 7 sur 132. Donc la version réduite de la fraction de départ 18 522 sur 349 272, c'est 7 sur 132.

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