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Fonctions

Généralités et Fonctions Usuelles

Dans cet exercice, nous apprenons comment déterminer si une fonction est paire ou impaire. Une fonction est paire si son ensemble de définition est centré en 0 et si f (-x) est égal à f(x) pour tout x dans son ensemble de définition. Si f(-x) est égal à (-f)x, la fonction est impaire. Pour vérifier si une fonction est paire ou impaire, nous devons calculer f(-x) et voir si nous obtenons f(x) ou -f(x). De plus, l'ensemble de définition doit être centré en 0, ce qui signifie que si un nombre est dans l'ensemble de définition, son opposé doit également être dans l'ensemble de définition. Dans l'exemple donné, la parité d'une fonction est déterminée en vérifiant si f(-x) est égal à f(x) en utilisant l'ensemble de définition donné. La fonction était f(x) = 3x² -1, et il est montré qu'elle est paire.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment déterminer la parité d'une fonction dont on connaît son écriture explicite. Alors pour rappel, la parité d'une fonction, c'est est-ce qu'elle est paire ou impaire. Donc une fonction est paire quand son ensemble de définition est centré en 0 et quand on a f de moins x qui est égal à f de x, pour tout x dans son ensemble de définition. Et f est impaire, donc il faut aussi que l'ensemble de définition soit centré en 0, mais cette fois-ci f de moins x est égal à moins f de x. Donc voilà, ça c'est quelque chose qu'il va falloir vérifier. En fait, on va calculer f de moins x et on va voir est-ce qu'on retombe sur f de x ou est-ce qu'on retombe sur moins f de x. Bien sûr, tout ça après avoir vérifié que l'ensemble de définition est bien centré en 0. Donc l'ensemble de définition de cette fonction, on nous le dit, c'est x différent de plus ou moins 1 sur racine de 3. Alors une autre façon d'écrire, c'est cette façon-là, c'est r privé de moins 1 sur racine de 3 ou 1 sur racine de 3. C'est une autre façon d'écrire que c'est défini partout, sauf en plus ou moins 1 sur racine de 3. Et alors cet intervalle est en effet centré en 0. Donc pour montrer si un intervalle est centré en 0, donc si on a besoin de montrer quelque chose, il faut dire que si on a un nombre qui est dans cet intervalle, son opposé est aussi dans cet intervalle. Parce que centré en 0, ça veut dire que tout ce qui est à droite, on le retrouve aussi à gauche. Donc ça veut dire que si un nombre est dans l'ensemble de définition, son opposé est aussi dans l'ensemble de définition. Donc là, les seuls nombres qui ne sont pas dans l'ensemble de définition, c'est 1 sur racine de 3 et moins 1 sur racine de 3, qui sont eux-mêmes l'opposé de chacun. Donc n'importe quel nombre aura son opposé dans l'ensemble de définition. Donc cet intervalle-là est centré en 0, parce que si x est dans cet ensemble de définition, moins x sera aussi dans cet ensemble de définition. Donc il est bien centré en 0. Donc déjà, c'est un premier point à vérifier pour montrer qu'il y a des paires ou impaires. Et pour montrer qu'on est bien centré en 0 dans les deux cas. Maintenant, on va calculer f de moins x, et on va voir si on retombe sur f de x ou si on retombe sur moins f de x. Donc c'est parti, on fait le calcul. f de moins x, c'est 1 sur 3 fois moins x au carré moins 1. La fonction, c'est 3 fois x au carré moins 1. Quand l'antécédent, c'est moins x, on met l'antécédent au carré. Et ensuite, on fait le calcul, on sait que moins x au carré, c'est égal à x au carré. Parce qu'un nombre au carré est égal à son opposé au carré, donc son opposé c'est quand on rajoute le signe moins. Donc on remplace, et on retrouve que ça fait 1 sur 3 x carré moins 1. Ça en fait, c'est exactement l'écriture de f de x. Donc on a que f de moins x est égal à f de x. Donc f de moins x est égal à f de x. On est dans la situation où f est paire. Donc ici, f est paire, et voilà comment on montre la parité d'une fonction.

Déterminer la parité

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