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Dans cette vidéo, Paul explique comment traduire des phrases logiques en français en utilisant des quantificateurs mathématiques. Il utilise des exemples avec une fonction f de r à R et explique comment exprimer ces phrases à l'aide de quantificateurs et leur négation. Les exemples incluent des questions sur l'unicité de solutions, l'existence de points fixes, la croissance/decrémentation de la fonction et l'annulation de la fonction sur R. Paul souligne qu'il y a différentes façons de décrire la même chose avec des quantificateurs et il explique comment prendre la négation d'une implication en utilisant la logique "a et non b". En somme, cette vidéo est un guide pour comprendre et utiliser correctement les quantificateurs mathématiques pour traduire des phrases logiques en français.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans cette nouvelle vidéo sur la logique et plus particulièrement comment traduire des phrases logiques en français en des séries de quantificateurs mathématiques. Donc dans cet exercice, f désigne une fonction de r dans R et il faut exprimer à l'aide de quantificateurs les phrases suivantes et ainsi que donner leur négation. La première question, un a, f et la fonction nulle. On va traduire ça sous forme de quantificateur. Donc a est équivalent à, pour toute x dans R, f de x égale à 0. Sa négation, pour la négation de quelque soit x, c'est il existe un x, donc il y a au moins un x pour lequel c'est vrai, tel que f de x est différent de 0. Donc pour négation d'une affirmation du type quelque soit x quelque chose, c'est il existe un x, non ce quelque chose. Maintenant on passe à la deuxième question. L'équation f de x égale à 0 a une solution, donc a au moins une solution. Donc il existe un x appartenant à R tel que f de x égale à 0. Il y a une solution et c'est ce x. Il y a au moins un x tel que l'équation a une solution. La négation c'est pour toute x dans R, f de x est différent de 0. Donc il n'y a aucune solution. Pour toute x dans R, aucun x ne vérifie f de x égale à 0. L'équation f de x égale à 0 a exactement une solution. Donc ça veut dire qu'il y a unicité de la solution. Du coup on va utiliser le quantificateur il existe un unique avec un point d'exclamation. Il existe un unique x, un unique réel x tel que f de x égale à 0. La négation de ça c'est un peu plus compliqué que la négation de il existe un unique parce que quelque soit x il n'y a aucune solution. Mais il y a aussi le cas où il y a plusieurs solutions distinctes. Donc on fait ce cas. Plusieurs solutions distinctes ça veut dire quoi? Il existe xy dans R² tel que x est différent de y et f de x égale à f de y est égal à 0. Donc il y a deux solutions distinctes. Donc il n'y a pas unicité de la solution. L'unicité est bafouée. Là c'est l'existence qui est bafouée et là c'est l'unicité. Donc il y a deux choses à donner la négation. On passe à la question suivante. La fonction f s'annule au moins une fois sur R. Donc au moins une fois c'est il existe. Il existe x appartenant à R tel que f de x égale à 0. La négation c'est il existe quelque soit x dans R f de x différent de 0. Maintenant pour la question suivante. f est l'identité de R c'est à dire une fonction qui à chaque réel associe lui même cette fonction identité id de R. Donc f est l'identité de R. Donc ça veut dire que f égale à l'identité c'est équivalent à quelque soit x appartenant à R f de x est égal à x. Donc f est égal à l'identité de R. On aurait pu égale à id de x. Donc la négation c'est f est différente de l'identité de R c'est équivalent à il existe un x tel que f de x est différent de x. Toujours quelque soit il existe et on a la négation ici de ceci. Donc le graphe de f coupe la droite d'équation y égale à x. Il existe un x appartenant à R tel que f de x est égal à x. Ça veut dire qu'il y a au moins un x tel que f de x est égal à l'identité. Ça c'est la droite d'identité. Donc f de x c'est y. Le graphe de x c'est y égale f de x. Donc il existe au moins un x tel que f de x donc y égale x. La négation, on prend la négation de cette assertion. Quel que soit x appartenant à R, f de x est différent de x. f a au moins un point fixe. Un point fixe c'est quoi? C'est un x tel que f de x est égal à x. Ça veut dire que la fonction ne change pas ce point. Donc il existe un x appartenant à R tel que f de x est égal à x. La négation c'est toujours la même chose. Vous avez remarqué que les trois questions c'était toujours la même chose ici en quantificateur. Mais à chaque fois c'était avec différentes... Là c'est la même chose ici. Là c'est la même chose ici. Mais il y a deux façons de le faire. Le graphe de f coupe la droite d'équation y égale à x. Ou f a au moins un point fixe. Ça montre qu'il y a plusieurs façons de décrire la même chose. Mais avec des quantificateurs les options sont beaucoup plus réduites. La troisième question. f est croissante sur R. Donc c'est équivalent à... Quel que soit x ou y appartenant à R², f conserve l'ordre des nombres. Donc si x est supérieur à y, ça implique que f de x est supérieur à f de y. Donc si x est supérieur à y, ça implique que f de x est supérieur à f de y. La négation de cette assertion c'est il existe x ou y dans R². Donc pour l'instant rien de transcendant parce que c'est la négation d'un quelque soit. Donc on a un il existe. Et après on doit avoir la négation de ça. Donc la négation de x de a implique b, c'est a et non b. Donc c'est à la fois on a la chose de droite et on n'a pas la chose de gauche. Donc l'implication est fausse. D'ailleurs on remarque pourquoi c'est ça. Pourquoi pour prendre la négation d'une implication on prend a et non b. Parce qu'en fait une implication c'est équivalent d'un point de vue logique à a implique b c'est équivalent à non a ou b. Donc ça c'est à prendre par coeur, c'est à bien connaître. Et en fait ça permet de bien comprendre qu'est ce que c'est une implication. Par exemple si a est faux, cette assertion logique est vraie. Quel que soit même si b est faux. C'est pour ça qu'on dit que du faux on peut tout démontrer. A partir de quelque chose de faux on peut tout démontrer. Parce que cette assertion sera toujours vraie si a est faux. Et du coup la négation non a implique b c'est équivalent à a et non b. Donc c'est la négation de non a ou b. Donc c'est important de savoir que a implique b c'est égal à non a ou b d'un point de vue logique. Pour pouvoir simplement prendre sa négation. Parce que un ou se transforme en et quand on passe au complémentaire, à l'assertion négative. Donc f est monotone sur r. Donc f est monotone sur r ça veut dire quoi? Ça veut dire que f est croissante ou décroissante. Du coup elle est tout le temps croissante ou tout le temps décroissante. Donc il y a toujours deux cas. Donc c'est b c'est équivalent à quelque soit x appartenant à r². Quelque soit x ou y là c'est la négation de la croissance. Ou f est décroissante. Donc quelque soit x appartenant à r², x supérieur à y implique on change d'ordre f de x inférieur à f de y. Là c'est bien important de ne pas mettre le ou après le quantificateur quel que soit. Parce que soit elle est tout le temps croissante, soit elle est tout le temps décroissante. Parce que sinon si on avait mis le ou après ici et juste une fois le quantificateur quel que soit là ici. Et bien elle aurait été, quelque soit x appartenant à r², elle aurait été soit croissante pour certains x et y, soit décroissante. Donc elle peut être à la fois les deux. Donc là c'est bien pour toute x elle est décroissante ou pour toutes x elle est décroissante. Donc on va faire la négation. La négation c'est un ou. Donc on va d'abord prendre la négation de ça et la négation de ça. Donc la négation de la première assertion c'est quel que soit, donc c'est un il existe. Et après on prend la négation d'une implication donc c'est a et non b. Donc toujours comme pour la négation de la croissance. Et par rapport à un ou, pareil il existe. Et là c'est la négation de la décroissance, la négation de ça, une implication comme on a vu à la question précédente. Ok c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois.

Utiliser les quantificateurs

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