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Dans cette vidéo, on apprend comment traduire des assertions en français en des assertions logiques avec des quantificateurs, cet exercice se concentre sur des suites réelles UN définies sur N. Pour exprimer que l'assertion "la suite UN est majorée", il faut dire qu'il existe un nombre M appartenant à R tel que, pour tout N appartenant à N, UN est inférieur ou égal à M. En négatif, il faut dire que, quel que soit M appartenant à R, il y a au moins un rang N tel que UN est supérieur à M. Pour l'assertion "la suite UN est bornée", elle est équivalente à dire qu'il existe un petit M et un grand M appartenant à R² tels que, pour tout N appartenant à N, UN est compris entre petit M et grand M. En négatif, il faut dire soit qu'elle est non bornée car il existe un rang N tel que UN est strictement inférieur à petit M pour tout M appartenant à R, soit qu'elle est non bornée car il existe un rang N à partir duquel UN est strictement supérieur ou égal à tout M appartenant à R. Pour l'assertion "la suite UN est décroissante", il suffit de dire que, pour tout N appartenant à N, UN est inférieur à UN plus 1. En négatif, il faut dire qu'il existe un rang N tel que UN est supérieur à UN plus 1. Enfin, pour l'assertion "la suite UN est monotone", elle est soit croissante, soit décroissante, il faut donc utiliser le quantificateur "quel que soit" avec chaque affirmation.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur la logique et plus particulièrement comment traduire des assertions en français, en des assertions logiques avec des quantificateurs et cette fois-ci sur les suites. Donc on a dans cet exercice UN est une suite réelle définie sur N et il faut exprimer à l'aide de quantificateurs les phrases suivantes puis en donner leurs négations. Donc la première question, la suite UN est majorée, donc être majoré ça veut dire quoi? Ça veut dire que il y a un nombre qui ne va pas dépasser. Donc c'est équivalent à il existe un M appartenant à R, donc ça c'est le fameux nombre qui ne va pas dépasser, tel que pour toute N appartenant à N, donc sur le domaine de définition de la suite, UN ne dépasse pas cet M. Donc UN est inférieur à M. Donc la négation c'est quelque soit M appartenant à R, donc la négation de il existe, il existe un N, donc il y a au moins un N, il y a au moins un N, tel que UN est supérieur à M. Donc quel que soit le M qu'on prend, qu'il soit arbitrairement grand ou pas, voilà, quel que soit, il y aura au moins un N, un rang N, tel que UN est supérieur à ce M, donc dépasse ce M. Donc la suite, elle monte, elle monte, elle monte, il y aura au moins un moment donné où elle va arriver aujourd'hui. Elle va arriver au-dessus de ce M, quel que soit le M qu'on prend. Maintenant la suite UN est bornée, donc bornée ça veut dire qu'elle est majorée et minorée. Il existe un petit M et un grand M appartenant à R², donc le petit M ça va être la minoration et M la majoration, tel que pour toute N appartenant à N, UN est compris entre M, petit M et grand M. Donc on décrit le fait qu'elle soit bornée, on le fait en une fois plutôt que de le faire bornée, minorée et majorée, c'est plus simple comme ça. Après pour la négation de cette assertion, en fait c'est un peu plus compliqué, parce qu'il va falloir faire en deux fois pour dire qu'elle est ni majorée ni minorée. Donc pour quel que soit M appartenant à R, il existe un rang N tel que UN est strictement inférieur à M, à petit M. Donc là c'est cette partie qu'on a pris la négation. Ou, parce qu'ici il y a un E caché, quand on dit M et M, et là on a deux assertions en l'une. Donc elle est soit non minorée, soit non majorée. Ou, quel que soit M appartenant à R, il existe un rang à partir duquel UN est strictement supérieur ou égale à M. Donc là c'est cette partie de l'assertion qu'on a bien pris la négative. Donc la question 2 c'est la suite UN est décroissante. Donc ça c'est très simple, c'est quoi la définition de la décroissance? Quel que soit N, pour tout rang N, UN est inférieur à UN plus 1. C'est plus simple que la définition de la décroissance pour les fonctions, parce que là on a des rangs discrets, du coup on peut définir la décroissance d'un rang à l'autre pour les suites. Et pour la négation, quel que soit, il existe un rang tel que UN est supérieur à UN plus 1. Donc il y a au moins un rang pour lequel la suite et l'ordre sont inversés. Pour la question suivante, la suite UN est monotone. Monotone ça veut dire qu'elle est soit croissante, soit décroissante. Donc on va avoir deux cas. Le cas, quel que soit N, quel que soit le rang N, UN plus 1 est supérieur ou égal à UN. Donc ça c'est le cas croissante. Où elle est décroissante, donc pour toute N, UN plus 1 est inférieur à UN. Et il faut bien veiller à mettre le quantificateur quelque soit à chaque fois. Parce que sinon si on mettait quelque soit au début et après, ici, le où, là, et on mettait ça ici, ça veut dire que, quel que soit N, elle est soit décroissante, soit croissante. Donc elle est croissante et décroissante à la fois sur différentes parties de son domaine de définition N. Alors que là, elle serait ni croissante ni décroissante. Alors que là, elle est soit que croissante, soit que décroissante. Donc c'est bien la monotonie. Voilà, c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

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