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Ensembles

Dans cette vidéo, Paul utilise le diagramme de Venn pour résoudre des assertions sur les ensembles. Il montre comment déterminer si une proposition est vraie ou fausse en utilisant les croix et les patates pour représenter les ensembles. Paul illustre également les différentes opérations d'ensembles telles que l'intersection, la complémentation et l'union en utilisant le diagramme de Venn. Il encourage ses spectateurs à utiliser les diagrammes de Venn pour tester des hypothèses sur les ensembles.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans cette nouvelle vidéo sur les ensembles et l'élégrame de Venn. Ok c'est parti. Donc l'exercice consiste à dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. Et c'est des assertions sur les ensembles, on voit appartient, appartient, voilà, les inclusions. Et ces ensembles, on a des informations sur eux via ce d'élégrame de Venn, ok. Donc on a E et trois ensembles A, B et C ici, qui sont représentés par ces patates, comme j'aime les appeler. Et après on a des points ici de E qui sont représentés par des croix. Donc si une croix est dans une patate, ça veut dire qu'il est dans l'ensemble associé, c'est assez clair. Donc on va dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. Donc G, est-ce que G appartient à A, l'intersection de A et du complémentaire de B? Qu'est-ce que c'est l'intersection de A et du complémentaire de B? C'est A et non B, et le complémentaire de B. Donc en fait c'est à la fois A et B, et le complémentaire de B, donc c'est A privé de B. Donc c'est cela, et on voit que G n'est pas dans cet ensemble. On aurait pu le voir directement parce que G appartient à B, donc G ne peut pas appartenir à le complémentaire de B. Donc on passe à la question, c'est faux. Donc si la deuxième question, l'assertion est G appartient au complémentaire de A et au complémentaire de B. Donc vous remarquez que je dis A depuis tout à l'heure, parce que l'intersection c'est synonyme de A. Il faut penser A quand vous lisez ça. Donc A appartient au complémentaire de A et au complémentaire de B. Là toujours pareil, pour la même raison, ici G appartient à B, donc il ne peut pas appartenir au complémentaire de B. Donc ça va être faux, mais je vais quand même dessiner le set ensemble pour vous. Donc c'est ni A, il n'est pas dans A et pas dans B. C'est comme ça qu'on peut l'interpréter. Donc c'est tout le reste, tout E sauf A et B. Donc troisième assertion, donc cette assertion est fausse. G appartient au complémentaire de A ou au complémentaire de B. Cette assertion ici est vraie, pourquoi? Parce qu'on voit que G ici est bien dans le complémentaire de A, parce que G n'est pas dans A. Mais qu'est-ce que c'est cet ensemble, le complémentaire de A ou le complémentaire de B? Là on a une union, donc une union c'est égal à ou, comme un U. Et bien en fait c'est tout l'ensemble sauf ce petit bout ici, sauf la négation de cet ensemble. Donc la quatrième question, c'est F appartient à C privé de A. Est-ce que F appartient à C privé de A? C'est quoi? C'est C moins A. Donc on a cet ensemble ici et on a F qui appartient bien à C mais il appartient à A, donc il ne peut pas appartenir à C privé de A. Donc c'est faux, on voit bien sur le dessin. Après la cinquième assertion, est-ce que E appartient à l'intersection du complémentaire de A, du complémentaire de B et du complémentaire de C? C'est quoi ça? Ça veut dire que est-ce que E n'est ni dans A, ni dans B, ni dans C? Non, c'est faux parce que E est à la fois dans A, à la fois dans B, à la fois dans C. Donc c'est tout l'inverse on va dire. Donc c'est ça l'ensemble et on voit bien que E n'est pas du tout dans cet ensemble. Six, on a H et B sont inclus dans l'intersection du complémentaire de A et du complémentaire de B. Donc le complémentaire de A et du complémentaire de B, on l'a vu ici. Voilà, donc on voit bien et là H et B, on voit H, H est dedans et B est dedans aussi. Donc cette assertion est vraie. Comment on aurait pu le voir sans faire de dessin? On voit bien que H doit être dans le complémentaire de A et dans le complémentaire de B, donc il ne doit pas être dans A ni dans B. Donc on voit bien que H n'est ni dans A ni dans B et que B n'est ni dans A ni dans B. Donc l'assertion est vraie. L'assertion 7, A et F appartiennent à, l'ensemble AF est inclus dans l'ensemble A union C. Donc ça veut dire que A et F appartiennent soit à A, soit à C. Donc A ici appartient à A, donc c'est bon. F appartient à A et à C, un des deux lesquels vous voulez. Donc l'assertion est vraie parce que déjà si on trace ces ensembles, c'est l'union de A et de C. Donc c'est cet ensemble ici. Donc l'assertion est vraie. Voilà, donc c'est la fin de cet exercice. Vous voyez que c'est assez simple les diagrammes de Venn et je vous encourage à en faire des fois quand vous voulez tester des unions et des hypothèses sur les ensembles. C'est toujours utile pour visualiser parce que nous on est des humains et on aime bien visualiser. Ok, on se dit à une prochaine fois et à la prochaine!

Diagramm de Venn

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