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Ensembles

Dans cette vidéo, on apprend à manipuler l'union, l'intersection et l'appartenance des ensembles. On prend trois ensembles A, B et C tels que A union B est égal à B inter C. On doit montrer que A est inclus dans B et est inclus dans C. Pour montrer l'inclusion, il faut prouver que pour tout élément X de A, X est également dans B et C. On commence par montrer que A est inclus dans B en prouvant que pour tout élément X de A, X appartient à B. Sachant que A union B est égal à B inter C, on déduit que X appartient à B inter C, donc à B et C. Donc X appartient à B et A est inclus dans B. On montre ensuite que B est inclus dans C en prouvant que pour tout élément X de B, X appartient à C. Sachant que B est égal à B inter C, on déduit que X appartient à B inter C, donc à B et C. Donc X appartient à C et B est inclus dans C. Finalement, on a prouvé que A est inclus dans B qui est inclus dans C.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans cette nouvelle vidéo sur les ensembles où on va voir un peu comment manipuler l'union, l'intersection et l'appartenance, l'inclusion avec des éléments des ensembles. Donc on a A, B et C, trois ensembles tels que A union B et B est égal à B inter C. On doit montrer que A est inclus dans B et est inclus dans C. On a deux choses à montrer ici. On a montré que A est inclus dans B et après que B est inclus dans C. On va commencer par montrer que A est inclus dans B en utilisant ce qu'on sait sur ces ensembles. L'inclusion c'est quoi? Ça veut dire que pour tout élément de A, A est dans B. C'est très simple. On prend un X dans A et on va montrer qu'il est dans B. Qu'est-ce qu'on sait de X dans A? X, vu qu'il est dans A, il est aussi dans A union B. Donc il est dans A et B. Enfin il est dans A ou B. Sauf qu'on sait que A union B c'est égal à B inter C. Donc X appartient à B inter C. Donc il appartient à B et à C. Donc X appartient à B entre autres. On a prouvé que quel que soit X appartenant à A, X appartenant à B, A est inclus dans B. Montrons maintenant que B est inclus dans C. Si on prend X dans B, X appartient à A union B, toujours, parce que X appartient à B. Donc elle appartient entre autres à A union B, qui est égal à B inter C. Mais on va utiliser le fait qu'elle appartient à C, parce qu'elle appartient à B et à C, vu qu'elle appartient à B inter C. Donc X appartient à C. Donc quel que soit X appartenant à B, X appartient à C. Et B est inclus dans C. Donc on a bien A est inclus dans B, qui est inclus dans C. On encadre et c'est la fin de cet exercice. On se dit à la prochaine fois!

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