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Dans cette vidéo, Paul explique la relation entre les parties d'un ensemble en utilisant deux ensembles E et F. En analysant la question de savoir si A est une partie de E inter F et si elle est aussi une partie de E et F, il déduit que A appartient à la fois aux parties de E et de F. En comparant P de E inter F avec P E inter P de F, il démontre que P de E inter F est inclus dans P de E inter P de F. Ensuite, il essaie de prouver l'inclusion réciproque, mais il trouve un contre-exemple en utilisant les singletons. Il conclut que les choses qui sont vraies pour l'union ne le sont pas forcément pour l'intersection.

Salut c'est Paul et en ce temps dans cette nouvelle vidéo on va aborder les parties d'un ensemble. L'exercice consiste à considérer deux ensembles E et F et là on va essayer de prouver ici quelle est la relation entre les parties de E inter F et les parties de E inter les parties de F. Donc c'est quoi? Est-ce qu'on peut passer de l'un à l'autre? Comment? Pour ça on va d'abord faire la première question. Donc soit A une partie de E inter F et la question c'est A est-il une partie de E et est-elle une partie de F? Après on va en déduire des choses sur les deux ensembles qui nous intéressent. Donc la définition déjà d'appartenir à A est une partie de E par exemple. Donc A est une partie de E, c'est équivalent à A est inclus dans E. Donc ça ça va être par cœur évidemment. C'est la définition, c'est ça la système de partie. Donc A appartient à P de E inter F ça veut dire que A est inclus dans E et A est inclus dans F parce que A est inclus dans E inter F. Donc ça implique que A appartient aux parties de E et A appartient aux parties de F par définition des parties de l'ensemble. Donc ça veut dire que A est à la fois une partie de E et est une partie de F. Donc on a répondu à la première partie de la question. Ici voilà oui c'est une partie de E et oui c'est une partie de F. Donc en déduire une comparaison sur P de E inter F avec P de E inter P de F. Donc en fait si on continue ça, ça veut dire que si on y réfléchit, si A appartient à P de E et aux parties de F, ça veut dire que A appartient à la fois du coup aux parties de E et aux parties de F. Donc A appartient à l'intersection entre les parties de E et les parties de F. Donc là on voit que A appartient aux parties de E inter F implique que A appartient aux parties de E et aux parties de F et donc on a l'inclusion entre, on a cet ensemble qui est inclus dans cet ensemble. Parce que quand on a cette implication, ça implique ici qu'on a cette inclusion que P de E inter F est inclus dans P de E inter P de F. Donc on a notre première relation entre les deux ensembles. Maintenant en fait on le voit venir, là on va en déduire une deuxième comparaison. En fait cette comparaison ça va être l'inclusion réciproque et donc on va avoir égalité. Donc soit B est un ensemble qui a à la fois contenu dans E et aussi dans F, B est-il contenu dans E inter F. Si on prend B dans B et que B est inclus dans E, ça implique que b appartient à E et b est inclus dans F donc b appartient à F. Et donc ça conjoint, ça veut dire que b appartient à E inter F. Ainsi on a prouvé que s'il y avait un élément de B, c'est aussi un élément de E inter F donc B devient inclus dans E inter F. Donc si on prend A, là on va essayer de prouver l'inclusion réciproque parce que par instinct là on se dit qu'il n'y a pas 36 000 relations qu'il peut y avoir entre deux ensembles, donc c'est sûrement qu'il y a l'inclusion réciproque. Donc pour ça on prend un ensemble qui appartient à cet ensemble, soit A une partie de E et une partie de F, donc l'intersection des parties de E et de F. A appartient aux parties de E, ça implique que A est inclus dans E par définition des parties. A appartient aux parties de F, ça implique que A est inclus dans F. Ainsi A est inclus dans E inter F et donc A appartient aux parties de E inter F par définition encore d'une partie. Donc les parties de E inter F ici, on a l'inclusion réciproque, je l'écris dans ce sens là pour mieux le voir. On a l'inclusion dans les deux sens et donc on a l'égalité. Donc on a bien une sorte de séparation, là on peut séparer, quand on a l'intersection ici on peut séparer les parties. On va voir en fait, on va voir est-ce que c'est vrai pour l'union aussi. On va d'abord démontrer une inclusion. Donc démontrer que les parties de F sont inclus dans les parties de E union F. Donc si on prend A dans le premier ensemble, une partie de E union une partie de F, donc A est inclus dans E et A ou, ici un ou parce qu'on a l'union ou A est inclus dans F, c'est un ou inclusif. Donc A est inclus dans E union F, ainsi par définition des parties de E union F, A appartient aux parties de E union F, ainsi on a bien l'inclusion qu'on cherchait. Mais en fait finalement on n'a pas l'inclusion réciproque, donc on n'a pas l'égalité finalement, on n'a que l'inclusion dans ce sens là. Et pour ça on va trouver un contre exemple, donc un exemple simple prouvant que l'inclusion réciproque n'est pas toujours vraie. Donc un exemple simple, on pose le plus simple, c'est de prendre des singletons. Donc on pose E égale singleton de 0 et F le singleton 1. En fait 0, 1 appartient aux parties de E union F. E union F c'est 0 et 1, donc 0, 1 c'est bien une partie de union F parce que c'est l'ensemble en entier. Or 0, 1 n'appartient pas aux parties de E, c'est pas une partie de E, et 0, 1 n'appartient pas aux parties de F. On voit que 0 n'appartient pas à F et 1 n'appartient pas à E, donc c'est pas possible. Donc P de E union F n'est pas inclus à partie de E union partie de F. Donc on n'a bien pas l'inclusion réciproque. Donc là c'est un exemple de choses qui marchent bien avec l'union et des choses qui marchent pas bien avec l'intersection. En général des choses qui sont vraies pour l'union c'est rarement vrai pour l'union, c'est même quasiment jamais vrai pour l'union. Donc c'est fini et on se dit à la prochaine fois!

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