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Calcul de primitives

Dans cette vidéo, Matisse de Studio nous montre comment déterminer des primitives de fonctions sur un intervalle donné. Pour cela, il nous explique deux méthodes. La première, un peu bruteforce, consiste à tout développer, ce qui prend beaucoup de temps. La deuxième méthode consiste à repérer une forme particulière de fonction à une puissance donnée et à faire apparaître sa dérivée dans l'expression grâce à des calculs. Ensuite, on peut appliquer des formules de référence pour déterminer la primitive. Matisse applique cette méthode à plusieurs exemples de fonctions pour illustrer cette démarche. Il rappelle également l'importance de connaître les formules de référence pour les fonctions usuelles telles que les puissances, les racines et les logarithmes.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, dans cette vidéo on va déterminer nos premières primitives. Alors on nous demande de déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré. La première c'est f de x qui est égale à 3x-1, facteur de 3x²-2x-3, le tout au cube. Attention on a bien une puissance 3 ici, qui ne nous arrange pas trop d'ailleurs. Alors à partir de là on peut avoir deux méthodes pour arriver à nos fins. La première ce serait la méthode un peu brute force, ce serait de tout développer. Alors là si on regarde bien on a un cube, donc déjà ça fait quatre facteurs dans le développement, en plus on va multiplier par 3x-1, bref on sait qu'on va y arriver vu que c'est un polynôme, mais que du coup c'est très facile à intégrer, mais ça va mettre beaucoup de temps. Alors la deuxième option ça va être de repérer pourquoi est-ce que on a mis cette forme là. C'est pas anodin, en effet ici il faut reconnaître une expression, une fonction à une puissance particulière, à puissance 3. Donc si on sait que devant on a sa dérivée, on va pouvoir s'en sortir vu que la dérivée de u², on le sait, c'est 2u'u par exemple. Donc le but ça va être maintenant de faire apparaître, vu qu'ici ce n'est pas totalement la dérivée de l'expression qu'il y a sous la puissance, il faut faire apparaître, c'est très souvent comme ça en maths, ce qu'on souhaite observer, c'est à dire la primitive. C'est pour ça que j'ai mis un petit tilde au dessus du u', vu que ce n'est pas encore totalement la dérivée de u. Alors il nous manque quoi pour que ce soit la dérivée? Ici on aurait du 6x-2, or on a du 3x-1, vous l'avez compris on va multiplier et diviser par 1 demi. Donc voilà, ici on se retrouve bien avec du 1 demi fois la dérivée de u, u à puissance 3. Maintenant on peut appliquer, ça va être ça pendant tout l'exercice, c'est reconnaître des formes particulières de primitives, et puis appliquer les formules. Alors, là maintenant c'est une formule classique, la primitive de u' u puissance n, c'est 1 sur n plus 1 fois u à la puissance n plus 1. Si on a un doute, on a juste à redériver dans ce sens là, si on dérive ça, il y a effectivement du u' qui sort, et le n plus 1 se compense avec le n plus 1 ici, en laissant une puissance n. Ok, donc si on applique ça maintenant à l'expression qu'on a ici, u joue le rôle de 3x²-2x plus 3, et n c'est 3. Donc on applique en la formule, une primitive de f, c'est F, qui a x associé 1 demi fois 1 quart fois 3x²-2x plus 3 à la puissance 4. Conclusion, pour tout x appartenant à R, une primitive, attention, c'est une primitive, ce n'est pas la primitive, il n'y a jamais de primitive unique, elles diffèrent toutes d'une constante juste à côté, sauf qu'ici j'ai pris la constante nulle par commodité. Donc finalement, une primitive de f sur R, c'est F qui a x associé 1 demi, 1 huitième de 3x²-2x plus 3 à la puissance 4. Ensuite, nous devons primitiver 1-x² sur x puissance 3, sur x puissance 3, pardon, sur x puissance 3, sur x puissance 3, et c'est un peu la même logique, c'est le fait qu'on a une puissance, qui est compliquée à primitiver, et qui est à l'inverse, et une expression, où si on regarde bien, on a du x puissance 2, alors que là on avait du x puissance 3, du x alors que du 1, alors que là on a du x, donc on va essayer de se ramener à la même chose. En effet, ici, si on identifie ça à u, u étant plutôt l'expression sous la puissance, on peut identifier un u' qui est quasiment la dérivée de l'expression sous la puissance. Il manque quoi? La vraie dérivée de x3-3x plus 1, c'est 3x²-3. Donc on a juste à multiplier par 3, et pour faire une opération neutre, on divise par 3, mais c'est pas grave pour la constante multiplicative. Donc au final, on fait apparaître, là je vous conseille de vraiment mettre sous la forme la plus simple possible pour identifier bien ce qu'on a, donc on met tout à plat, ça nous donne du moins un tiers de 3x²-3, j'ai utilisé un moins pour faire apparaître ici, vu que ce serait une puissance moins 3, fois x puissance 3 moins 3x plus 1. Donc ici, on a bien effectivement du u' avec du u à une puissance n. Donc on peut appliquer la formule exactement de la même manière, et puis on obtient une primitive F, une grande F qui a x associé, moins un tiers, fois moins un demi, en effet on a ajouté 1 à moins 3, donc ça devient moins 2, et donc j'ai directement mis sous la fraction, 1 sur x puissance 3 moins 3x plus 1². Donc pour tout x appartenant à moins l'infini moins 2, F de x est égal à 1 sixième de 1 sur x puissance 3 moins 3x plus 1². Alors la prochaine primitive à déterminer, c'est la suivante, celle de la fonction F qui a x associé, x moins 1 sur racine de x facteur de x moins 2, sur moins infini 0. Alors là, c'est plus compliqué, puisque la forme n'est pas, c'est pas comme si on pouvait identifier dès le départ, ce qu'on avait fait pour les deux autres, mais on a envie quand même d'utiliser cette technique de faire apparaître un u et de chercher le u' quelque part dans l'expression. Alors si on développe ce qu'il y a sous la racine, et bien on obtient du x² moins 2x. x² moins 2x, sa dérivée c'est 2x moins 2. Ah bah c'est top, vu qu'à un facteur multiplicatif près, c'est exactement ce qu'il y a au numérateur. Donc on fait apparaître ce que l'on souhaite, F de x est 1 demi de 2x moins 2 sur racine de x² moins 2x. Et là c'est bon, on a une forme particulière, qui en plus, directement donnée, en effet, ça peut s'identifier à u', divisé par deux racines de u. Et là c'est une formule usuelle, la formule la plus pure possible d'ailleurs. Donc on sait que la primitive de u' sur deux racines de u, c'est racine de u, on n'a qu'à la dériver dans le sens pour s'en rendre compte, et donc directement, une primitive de F, c'est F, qui a x associé racine de x² moins 2x, sur moins l'infini, 0. Ensuite, la dernière que l'on a à identifier, pour tout x appartenant à 1 plus infini, F de x est égal à 1 sur x ln de x². Alors si vous l'avez compris, maintenant on va tenter toujours d'appliquer la même méthode. Alors, l'expression compliquée, c'est laquelle? Vous êtes d'accord, c'est ln de x². Donc à ce moment là, on part dans le schéma inverse, et on essaie de déterminer c'est quoi la dérivée. C'est quoi la dérivée de ln de x²? Et bien, on utilise les propriétés du ln, pour déjà faire sortir le 2, ce qui simplifie quand même l'expression, c'est plus simple de travailler avec ln de x que ln de x², et ici ça fait apparaître du 1 sur 2x ln de x. Or, là, ça saute aux yeux, puisque ln de x, sa dérivée, c'est 1 sur x. Donc, on a juste à faire monter le x au numérateur pour faire apparaître le u'. On a effectivement 1 demi de 1 sur x, le tout divisé par ln de x. Et là, il y a clairement la forme u' sur u. Alors ça, en général, on le retient assez facilement, vu que c'est une primitive très usuelle. La primitive de u' sur u, c'est ln de, attention, valeur absolue de u. Ça c'est une erreur très courante. Donc, il faut bien retenir ça. Et donc, si on applique cette définition au u qui vaut ln de x, et bien une primitive, c'est 1 demi de ln de valeur absolue de ln de x. Attention, il y a deux effets qui se coulent ici. Et ici, si on regarde bien, ln de x pour x qui est entre 1 et plus infini, c'est positif. Donc, les valeurs absolues peuvent s'enlever. Et au final, une primitive, c'est 1 demi de ln de ln de x. Donc voilà, c'était les premiers calculs de primitives qu'on a effectués. C'est une démarche très classique, qu'il faut bien avoir en tête. Quand on a une expression compliquée, on ne sait pas tellement comment la gérer. Alors, une des solutions, ce n'est pas la seule, on en verra plein d'autres, une des solutions, ça peut être de faire apparaître sa dérivée, u' dans le reste de l'expression, pour appliquer une formule classique de primitive pour les fonctions usuelles. Donc, que ce soit les puissances de u, que ce soit les racines de u, les ln, etc. C'est pour ça qu'il faut bien connaître ces formules de référence. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et maintenant je vous dis à bientôt!

Reconnaissance de formes

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