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Intégration par parties 2
Dans cette vidéo, nous abordons le sujet des primitives pas très usuelles en mathématiques. Nous commençons par le cas de la fonction Arc Tangente. Pour déterminer une primitive de cette fonction, nous utilisons le théorème fondamental de l'analyse, qui permet de trouver automatiquement une primitive. Plus précisément, une primitive de Arc Tangente est donnée par l'intégrale de 0 à x de Arc Tangente de t dt.
Pour calculer cette intégrale, nous utilisons la technique de l'intégration par parties. En posant u = Arc Tangente de t et v' = 1, nous obtenons une expression simplifiée de l'intégrale. En effectuant les calculs nécessaires, nous obtenons finalement une primitive de Arc Tangente, qui est donnée par la fonction x Arc Tangente de x - 1/2 ln(1 + x²).
Nous passons ensuite à la détermination d'une primitive de ln(x²). Encore une fois, nous utilisons le théorème fondamental de l'analyse pour poser l'intégrale à calculer. En utilisant l'intégration par parties avec u = ln(t) et v' = ln(t), nous obtenons une expression simplifiée de l'intégrale. En effectuant les calculs, nous trouvons une primitive de ln(x²), qui est donnée par la fonction x ln(x)² - 2x ln(x) + 2x.
Enfin, nous abordons le cas de la fonction sinus(ln(x)). En utilisant à la fois l'intégration par parties et le théorème fondamental de l'analyse, nous obtenons une expression intégrée de cette fonction. En effectuant les calculs, nous trouvons une primitive de sinus(ln(x)), qui est donnée par la fonction 1/2 x sinus(ln(x)) - x cosinus(ln(x)).
En conclusion, lorsque nous sommes confrontés à des fonctions dont les primitives ne sont pas usuelles, nous pouvons utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour poser l'intégrale à calculer. Ensuite, nous pouvons appliquer des techniques comme l'intégration par parties ou le changement de variable pour simplifier cette intégrale et déterminer la primitive de la fonction donnée.
