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Calcul de primitives

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment résoudre deux intégrales en utilisant la méthode d'intégration par parties. Pour la première intégrale, il calcule l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx en choisissant x comme sa fonction u et exponentielle de x comme sa fonction v'. Ensuite, il calcule les fonctions correspondantes et vérifie les hypothèses nécessaires avant d'appliquer le théorème d'intégration par parties pour trouver la réponse de l'intégrale, qui est égale à 1. Pour la deuxième intégrale, Matisse utilise la même méthode en choisissant ln de x comme sa fonction u et x carré comme sa fonction v'. Il calcule les fonctions correspondantes, vérifie les hypothèses et applique le théorème d'intégration par parties pour trouver la réponse de cette intégrale, qui est égale à 2 neuvième de e3 plus 1 neuvième. Il souligne également l'importance de bien retenir la syntaxe d'intégration par parties et de vérifier les hypothèses pour éviter les erreurs.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio et dans cette vidéo on va attaquer les intégrations par parties. Alors on nous demande de calculer les intégrales suivantes. I, tout d'abord, c'est l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx. Bon, je vous ai un peu spoilé la manière dont on va s'y prendre, ça va être par intégration par partie, mais l'important c'est de savoir pourquoi est-ce que l'on fait ça. Alors commençons par analyser ce qu'on nous demande de faire. Alors, on nous demande d'intégrer un produit. Donc déjà c'est quelque chose qui ne nous plaît pas trop, un produit de fonction différente. Or on sait que l'intégration par partie justement ça permet de résoudre certains problèmes de produit, vu que ça concerne directement ça. Alors, d'un côté on a en tête que l'intégration par partie, il y a un des produits qui est dérivé et l'autre qui est intégré. Maintenant il faut analyser. Lequel est-ce qu'on va choisir? Alors x d'un côté, il est embêtant car il est en facteur, et par contre sa dérivée est plus que simple, c'est 1. Donc c'est très facile à manipuler comme dérivée. Alors que e de x, elle est à la fois intégrable et dérivable facilement, mais ici c'est forcément l'aspect intégrable qui nous intéresse. Alors il faut retenir ça, très souvent lorsqu'on nous demande d'intégrer une exponentielle, d'après ses propriétés très simples d'intégration et de dérivation, on part sur une intégration par partie. Alors qu'est-ce que ça donne? Alors là, il y a une typologie vraiment type, il faut actiquer à chaque fois, c'est un peu comme les récurrences, il faut s'habituer à garder vraiment une description, une grammaire toujours la même, comme ça, ça limite au maximum les erreurs. Alors, on commence par annoncer l'intégration par partie, ensuite il faut garder en idée, bon ça c'est plus à mettre au brouillon, qu'on sait que l'intégral de uv' c'est l'intégrer de uv moins l'intégral de u'v. Ok. Donc à partir de là, on essaye d'identifier qu'est-ce qui peut servir de u, qu'est-ce qui peut servir de v'. Alors, c'est parti, on commence par posons les fonctions. Alors là bien sûr c'est un abus de langage, puisque j'appelle u une fonction mais je l'égalise à un nombre. Donc ça n'a pas de sens en maths, normalement rigoureusement j'aurais dû mettre u la fonction qui a x associ x. Bon maintenant c'est communément admis qu'on fait l'erreur manifeste de confondre une fonction et son image, mais bon, bien sûr ce n'est pas rigoureux mathématiquement. Donc, une fois qu'on pose les fonctions, directement, qu'est-ce qu'on fait? Vu qu'on va avoir besoin de u' et de v', on calcule les fonctions correspondantes. Donc si on pose u qui vaut x, u' vaut 1, et puis si on pose v' qui vaut e de x, et bien v est égal à e de x, convient. En effet, c'est une primitive disponible parmi n'importe quelle, enfin parmi l'infinité. J'ai choisi ici la constante égale 0 par commodité, mais c'est pour ça qu'il faut bien indiquer le convient, puisque c'est une primitive. Parfois, ça peut même être intéressant d'introduire des constantes bien choisies pour résoudre l'exercice. Bon, ce n'est pas le cas ici. Et là, justement, c'est là qu'on voit qu'on bascule dans la prépa, puisque l'intégration par partie, ce n'est plus communicé, ce n'est plus une formule magique qu'on applique, ça devient un théorème. Et là, le poids des mots est très important. Quand on parle de théorème, pour appliquer un théorème, il faut vérifier ses hypothèses, c'est la base des mathématiques. Or, il y a des hypothèses, oui, au théorème d'intégration par partie, qu'il faut vérifier à chaque fois. Donc attention, il ne faut pas seulement l'écrire, bon déjà il faut l'écrire, ça vaut des points. Et en plus, il faut quand même vérifier pour ne pas se retrouver si jamais on est en colle, le prof dit « ah oui, pourquoi elle est c1 au final? » et tu n'as pas vraiment vérifié, tu as juste marqué, ça paraît un peu bête. Donc bon, on vérifie bien. Bon, ici on a x et e de x, donc au final, elles sont toutes les deux fonctions c1 sur l'intervalle considéré, 0, 1. Donc ça y est, les hypothèses sont vérifiées. Donc par théorème d'intégration par partie, à ce moment-là, on a le droit d'écrire la formule. L'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx, c'est l'intégrée de x exponentielle x, attention ici on s'est bien revé, c'est la même, entre 0 et 1, moins l'intégrale de 0 à 1 de exponentielle x dx. Et là ça y est, on peut tout calculer. Ça nous donne donc ici e1 moins 0, ça c'est nul, et puis ici l'intégrée de x exponentielle x c'est bien sûr exponentielle x. Au final, nous trouvons que l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx, c'est égal à 1. Ensuite, la deuxième intégrale que nous demande de calculer, c'est l'intégrale de 1 à e de x carré ln de x dx. Donc e c'est exponentielle 1 bien sûr. Alors, on va faire la même analyse que pour la première intégrale. Ici qu'est-ce qu'on a? On a x carré, bon c'est un polynôme, on peut facilement le dériver, l'intégrer, mais bon on n'arrive pas à des résultats très concluants. ln de x par contre, sa dérivée est très intéressante puisque c'est 1 sur x, donc en termes de polynômes c'est très intéressant, on arrive avec une même nature d'objet. Donc on va se pencher sur la dérivée de ln de x et x2 on va l'intégrer. Donc c'est parti, on garde la même syntaxe. Posons les fonctions u qui est égal à ln de x, u prime du coup 1 sur x, v prime cx carré donc 1 tiers de x cube convient. Hop, on vérifie, ln de x et 1 tiers de x3 ce sont bien des fonctions c1 sur 1e. Donc par théorème d'intégration par partie, nous avons cette inégalité. Ici dans la deuxième partie, c'est ça qui nous intéresse, on sait bien la calculer puisque c'est l'intégration d'un polynôme. Et donc au final nous trouvons 2 neuvième de e3 plus 1 neuvième. L'intégrale de 1 à e de x carré ln de x dx est égale à 2 neuvième de e3 plus 1 neuvième. Voilà, c'était une première approche de l'intégration par partie. Donc bien retenir la syntaxe, j'ai plein d'élèves qui ne font pas l'effort de retenir exactement les étapes. Bon, vraiment on se pose deux secondes, on apprend comment est-ce qu'on écrit une intégration par partie. Et puis ça y est, après c'est donné pour la vie. Donc on en profite, bien retenir, faire attention à vérifier les hypothèses. En plus ça prend vraiment pas de temps et ça vaut des points. Donc je pense que c'est l'un des points les plus rentables en col ou en ds ou même au concours. Et puis après, il faut avoir une bonne analyse de qu'est-ce qu'on veut intégrer, qu'est-ce qu'on veut dériver. Et puis tout se passe bien. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à bientôt!

Intégration par parties 1

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