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Ce cours porte sur le sujet des sommes avec le binôme de Newton, en utilisant la formule pour développer f(x)=1+xⁿ. La somme pour k=0 à n de k parmi n est équivalente à f(1)=2ⁿ. La somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k fois k parmi n équivaut à n fois 2ⁿ⁻¹. Enfin, la somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k parmi n est équivalente à zéro. Ces sommes peuvent être déterminées en utilisant des techniques telles que la manipulation des expressions en combinatoire et le changement d'indice.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et aujourd'hui on va étudier des sommes avec le binôme de Newton. Alors, au moyen de la formule du binôme de Newton, développer f de x qui est 1 plus x à la puissance n, et en déduire tout un tas de sommes faisant intervenir le binôme, qu'on va voir par la suite. Alors, comment est-ce qu'on développe f de x qui vaut 1 plus x à la puissance n? Eh bien, d'après le binôme de Newton, c'est la somme pour k de 0 à n de k parmi n de x puissance k. Et si on voulait le compléter, on pourrait mettre 1 à la puissance n moins k. Mais ici, n'importe quelle puissance de 1, ça fait bien 1. Donc on a cette formule-là. Alors, pour en déduire la première somme, eh bien, la somme pour k égale 0 à n de k parmi n, si on essaie d'identifier, c'est comme si on avait mis un 1 ici, 1 à la puissance k, ça aurait bien donné la somme de k parmi n. Donc, au final, c'est f de 1. Et f de 1, tout simplement, ici, c'est 2 à la puissance n. Donc c'est vraiment... Vous voyez, ça peut faire peur cette somme, mais au final, avec cette astuce, c'est très très très rapide, tout comme la deuxième. Ici, si on l'identifie, eh bien, il y a le moins 1 à la puissance k ici, c'est en fait f de moins 1, et 1 moins 1 à la puissance n, c'est bien 0. Alors ensuite, ça se corse. La somme pour k égale 0 à n de k parmi n. Alors là, c'est plus compliqué, vu qu'on a un k devant, qui n'intervient pas du tout dans la formule juste ici. Alors comment est-ce qu'on va s'en sortir? En fait, il va falloir retravailler sur l'expression du coefficient combinatoire ici. En fait, k fois k parmi n, eh bien, si on écrit l'expression, il faut connaître l'expression de la combinatoire, c'est n factorial divisé par k factorial, n moins k factorial. Et donc, ici, pour k, attention, il faut bien préciser, pour k qui est supérieur ou égal à 1, eh bien, on peut simplifier ici le k factorial avec k pour nous donner un k moins 1 factorial. Bon, maintenant, c'est bien vu que ça nous a permis d'enlever ce facteur qui était un peu dérangeant devant, mais comment est-ce qu'on peut s'en sortir? En fait, on va faire une technique de plus 1 moins 1, comme souvent on s'en sort en calcul algébrique, à l'intérieur ici du deuxième coefficient factorial. Donc on fait plus 1 moins 1, et en fait, on va faire intervenir n moins 1 moins k moins 1, vu que ça, on sait que ça ne va pas bouger. Donc il faut le retrouver d'une autre manière. On fait intervenir le k moins 1 ici. Et pour retrouver l'expression d'un x parmi y, eh bien, il faut faire sortir un n en facteur pour avoir n moins 1 factorial sur k moins 1 factorial, facteur de n moins 1 moins k moins 1 factorial, et c'est bon, on a effectivement l'expression de k moins 1, n moins 1, de k moins 1 parmi n moins 1. Donc au final, on a transformé ce coefficient par n k moins 1 parmi n moins 1. Alors en quoi ça nous intéresse vraiment? Maintenant on s'en rend compte. En fait, cette somme, déjà pour k égal 0, ça vaut 0, donc au final, on peut directement commencer la somme à 1, ça nous intéresse vu que cette formule n'est valable que pour k supérieur ou égal à 1. Et donc, là on remplace par l'expression qu'on a trouvée, et n ne dépend pas de l'indice k. Donc on peut le sortir comme ça de la parenthèse, du signe somme, et au final, qu'est-ce qu'on obtient? Eh bien, lorsqu'on fait un changement d'indice, un petit glissement d'indice pour ramener dans l'expression qu'on connaît k à 0, donc k ici commence bien à 0 et finit à n moins 1, k moins 1 devient k, donc k parmi n moins 1, eh bien on obtient une pseudo-expression du binôme de Newton, où on aurait ici 1 à la puissance k, et puis 1 à la puissance n moins k. Donc c'est bien f en 1, sauf que f ici, ça allait jusqu'à n, or ici, ça va jusqu'à n moins 1. Donc on a l'expression suivante. La somme pour k égale 0 à n de k fois k parmi n, c'est n fois 2 puissance n moins 1. Attention à bien la puissance que l'on retient d'une unité. Et finalement, on nous demande la somme pour k égale 0 à n de moins 1 puissance k plus 1 fois k, k parmi n. On a sans doute qu'on va revenir sur la formule qu'on a déterminée précédemment. En effet, là encore une fois on peut faire la manipulation de faire commencer la somme à 1, vu que pour le terme qui vaut 0, ça vaut 0. Eh bien on obtient n fois la somme pour k égale 1 à n de moins 1 puissance k plus 1, k moins 1, n moins 1. Et là on fait la même manipulation, on fait un petit glissement d'indice, donc ça fait changer la bande supérieure et ça fait changer ici le terme là. Bon bien sûr le n moins 1 ne change pas, vu qu'il ne fait pas intervenir de k dans son expression. Et ici, la puissance glisse d'un indice. Et donc au final, on obtient quasiment la même expression qu'ici, sauf que n vaut n moins 1 maintenant, mais ça nous donne la même chose. La somme pour k égale 0 à n de moins 1 puissance k plus 1, k parmi n, vaut 0. Donc voici comment un petit, c'est une astuce qu'il faut avoir, on nous a mis sur la piste, comment un petit développement peut nous permettre de déterminer des sommes très intéressantes qu'on va retenir pour la suite. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis à bientôt!

Binôme de Newton

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