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Calcul Algébrique

En résumé, le cours traite des exercices de calcul sur les combinatoires, notamment la démonstration de l'égalité de k parmi n fois p parmi k et p parmi n fois n moins k parmi n moins p. En utilisant des manipulations sur les coefficients binomiaux et le binôme de Newton, on parvient à évaluer des sommes complexes pour aboutir à une réponse de k parmi n fois 2 à la puissance n et 0 si p est différent de n. Le cours souligne l'importance de la manipulation des factoriels pour résoudre de tels problèmes.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va faire quelques exercices de calcul sur les combinatoires. La première question nous demande de démontrer que k parmi n fois p parmi k, est égale à p parmi n fois n moins k parmi n moins p. Comme ça, ce n'est pas intuitif. On pourrait avoir l'idée d'une sorte de récurrence, mais concrètement il y a plusieurs indices entiers, donc ce n'est pas la bonne solution. En fait, c'est assez simple de pouvoir manipuler avec les combinatoires, donc on va le faire, on va expliciter. Tout d'abord, on peut s'intéresser au premier terme, k parmi n fois p parmi k, ça nous donne quoi? On a cette expression juste ici. Est-ce qu'on peut simplifier les choses? Ici on a k factoriel et k factoriel de l'autre côté, donc on peut tout simplement les simplifier, et puis on obtient n factoriel divisé par n moins k factoriel, p factoriel, k moins p factoriel. Maintenant, à partir de là, on est un peu bloqué, on ne voit pas trop comment on peut faire ressurgir l'autre. Alors le plus simple dans ces cas-là, c'est de partir de l'autre côté de l'égalité. C'est tout à fait licite, on n'est pas obligé de suivre une égalité, c'est plus joli mais on fait comme on peut. Donc ici, c'est le plus simple de repartir de l'autre. Ici, p parmi n et n moins k parmi n moins p, c'est égal à quoi? Il faut juste faire attention, ici pour le deuxième terme on aura n moins p moins n moins k, donc k moins p factoriel. Et en simplifiant juste ici, on obtient exactement la même chose, n factoriel divisé par p factoriel, n moins k factoriel, k moins p factoriel. Donc on a bien déterminé l'égalité entre ces deux produits de coefficients binomiaux. Ensuite, on va les utiliser pour calculer deux sommes différentes. La première, c'est la somme pour p égal 0 à k de p parmi n, n moins k parmi n moins p. Alors si on regarde ici, on a de la dépendance en p dans celle-là et de la dépendance en p dans celle-là. Donc ça ne nous intéresse pas, d'où le but de l'exercice, c'est d'utiliser l'expression qu'on a déterminée juste au-dessus. C'est donc égal à la somme pour p égal 0 à k de k parmi n, p parmi k. Et là, ici cette expression, ce produit ne dépend pas de p, donc on s'empresse de le sortir de la somme. Donc on se retrouve avec cette expression à évaluer, et ça on connaît, c'est le binôme de Newton. Pour rappel, on peut faire apparaître si on a envie les facteurs 1 artificiellement. Et on obtient, on retombe bien sur 1 plus 1 à la puissance n, donc 2 à la puissance n. Donc la première somme, c'est k parmi n, 2 à la puissance n. La deuxième somme, ça fait intervenir des moins 1, donc la somme ici c'est un peu plus compliqué, c'est la somme pour k allant de p à n, de moins 1 à la puissance n moins k, k parmi n, p parmi k. Donc ici il faut bien faire attention, l'indice de sommation c'est k. Alors il intervient ici, ici et ici. Ça fait beaucoup. Comme de la même manière, on va se servir du grand 1. Qu'est-ce qu'il nous donne le grand 1? Il nous permet de nous débarrasser, et on se retrouve plus qu'avec un facteur ici et un facteur là. Et là on va faire en fait, pour se ramener, on aimerait bien se ramener à la formule du binôme de Newton, déjà on va sortir ça de la somme, on se fait plaisir, et puis après on va faire un changement d'indice, c'est une technique à savoir faire, pour se ramener à la somme classique qu'on connaît. Alors je vous conseille de noter bien comment est-ce qu'on le fait. Alors k, ça va devenir, enfin pardon, k remplace k moins p. Donc ici, si on fait, ça partait de p, donc maintenant moins p, ça part de 0. Ici ça partait de m, donc moins p, ça va à n moins p. Très bien. Et dans l'expression en elle-même, eh bien k, c'est comme si on le remplacait par k plus p. Donc on obtient n moins k moins p, et ici n moins p moins k parmi n moins p. Et donc là, c'est exactement l'expression du binôme de Newton, pour une puissance n moins p au final. Et donc on obtient p parmi n fois 1 moins 1 à la puissance n moins p, donc au final c'est égal à 0. Si bien sûr, p est différent de n, j'aurais dû notifier ce petit détail. Comme quoi on peut s'ajuster en remarquant des petits ajustements. Donc voilà, c'est la fin de cet exercice. Ne pas hésiter à rentrer, à mettre les mains dans le cambouis des factoriels, ça se manipule quand même assez facilement, donc à retenir, et puis ça nous permet de calculer des belles sommes. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

Combinatoire

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