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Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment calculer des sommes de coefficients binomiaux. La première question consiste à calculer la somme de 0 parmi n, 1 parmi n, ... jusqu'à n parmi n. Pour formaliser cela, on calcule la somme de k parmi n, où k varie de 0 à n. En utilisant le binôme de Newton, on trouve que la somme des coefficients binomiaux est égale à 2 puissance n. On demande ensuite de montrer que la somme des termes pairs pour les coefficients binomiaux est égale à la somme des coefficients impairs. En transformant l'équation et en développant les termes, on obtient la somme de (-1) puissance k fois le coefficient binomial k parmi n est égale à 0. On peut alors appliquer le binôme de Newton pour prouver que la somme des termes pairs est égale à la somme des termes impairs. Enfin, on demande de calculer la somme de 0 fois 0 parmi n plus 1 fois 1 parmi n et la somme de 1 sur k plus 1 fois k parmi n. En utilisant le binôme de Newton et des astuces pour manipuler les termes, on trouve que la première somme est égale à 2 puissance n moins 1, et la deuxième est égale à 1 sur n plus 1 fois (2 puissance n plus 1 moins 1). Il est important de formaliser les expressions mathématiques pour résoudre ces problèmes et de ne pas avoir peur de travailler sur l'expression du binôme de Newton.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio, et dans cette vidéo on va faire des sommes de coefficients binomiaux. Première question, on nous demande de calculer une somme un peu particulière, la somme de 0 parmi n, plus 1 parmi n, plus etc. jusqu'à n parmi n. On essaye tout d'abord de formaliser un peu cela. Ce qu'on demande en fait, c'est de calculer la somme pour k allant de 0 à n, de k parmi n. Alors ça c'est une compétence qui est cruciale à avoir, c'est arriver à modéliser un peu ce qu'on aimerait faire mathématiquement. Et donc si on regarde cette expression, c'est effectivement à chaque fois en remplaçant en bas, et bien on obtient l'expression qu'on souhaite déterminer. Ok, c'est déjà un peu plus clair dans notre tête. A partir de là, on cherche à faire apparaître à partir de cette somme, le binôme de Newton. Et oui c'est la méthode classique. Donc en faisant apparaître les coefficients 1 à la puissance k et la puissance n-k, et bien c'est effectivement le binôme de Newton que l'on fait intervenir. Donc c'est 1 plus 1 à la puissance n. On pourrait poser comme polynôme la fonction f2x qui est égale à 1 plus x à la puissance n, et puis développer pour s'en rendre compte. Donc c'est une somme classique, c'est égal à la somme des coefficients binomiaux. Si on regarde le triangle de Pascal, pour n'importe quelle ligne, la somme des coefficients binomiaux, c'est égal à deux fois la puissance du numéro de la ligne que l'on regarde. Ensuite on demande de montrer que la somme des termes pairs pour les coefficients binomiaux est égale à la somme des coefficients impairs. Effectivement, c'est ce qu'on a l'habitude de montrer. Maintenant, comment est-ce qu'on peut formaliser ça? Et bien l'astuce c'est de tout faire passer du même côté. C'est plus facile de montrer que quelque chose est égal à zéro plutôt que de montrer une égalité un peu particulière. Donc ici on passe tout du même côté, et lorsqu'on formalise, on obtient donc que c'est la somme pour k égale 0 à n de moins 1 puissance k, fois le coefficient binomial k par mille n, qui est égal à zéro. On veut montrer ça. Et lorsqu'on développe, effectivement, on a bien ce que l'on souhaite. Alors ici, on fait intervenir le binôme de Newton en faisant apparaître un 1 à la puissance n moins k. Donc d'après le binôme de Newton, c'est 1 moins 1 à la puissance n, et c'est égal à zéro. Donc on a bien montré que la somme que l'on a montrée ici était égale à zéro, et donc on fait passer de l'autre côté pour montrer que la somme des termes pairs était égale à la somme des termes impairs. Troisième question. Montrer que pour n quelconque et k appartenant à 1, n, on a une égalité entre k fois k parmi n et n fois k moins 1 parmi n moins 1. Alors, lorsqu'on a une question comme ça, tout d'abord la première étape avant de se lancer dans n'importe quel calcul, c'est bien sûr de poser un n et un k quelconque. Donc c'est ce qu'on en fait. Et ensuite on calcule directement. De ce côté-là, qu'est-ce que ça donne? Ça vous donne n factorial en développant le combinatoire, c'est n factorial divisé par k moins 1 factorial, n moins k factorial. Et puis de l'autre côté, là j'ai fait directement tout. Très bien. On aurait pu repartir de là, et puis développer pour voir ce que ça donne. Bon ici j'ai directement voulu le refaire apparaître. Et bien, sur quoi on se base? Et bien ici on a du k moins 1. Donc tout d'abord on fait apparaître le k moins 1. C'est souvent ça en maths, on doit forcer l'apparition de ce qu'on veut faire, et puis après on gère les petits correctifs. Donc on se sert du k ici pour faire intervenir un k moins 1 en bas. Mais maintenant, pour arriver à l'expression qu'on veut, et bien ici il faut aussi que ce soit remplacé par un k moins 1. Mais c'est pas très pratique vu qu'on ferait sortir quelque chose, donc l'astuce c'est de faire un plus 1 moins 1 à l'intérieur de la factorial, pour arriver à cette expression-là, et finalement pour tomber sur le combinatoire que l'on veut, on fait sortir un facteur n, pour au final obtenir bien n fois k moins 1 parmi n moins 1. Ok? Troisième question. C'est bon. Et ensuite on demande de calculer deux sommes, 0 fois 0 parmi n plus 1 fois 1 parmi n. Ça nous exerce un peu compliqué, on ne nous formalise pas ce que l'on cherche concrètement, mais c'est à nous de le faire, c'est à nous de faire l'effort de formaliser, donc c'est ce qu'on va faire. Alors, ça, en fait si on se rend compte de ce que c'est, c'est k fois k parmi n, parce qu'à chaque fois on a les deux indices qui interviennent ici. Là c'est une somme bien sûr infinie. Enfin, finie jusqu'à n, pardon. Alors d'après 3, c'est bon, on peut faire l'inversion, vu que le k ici en facteur nous dérange beaucoup. Donc si on utilise la formule qu'on a déterminée précédemment, attention, elle ne vaut que pour k qui est supérieur à 1. Donc ici on peut faire démarrer k à 1, vu que le terme pour k égale 0 est nul. Et donc ça y est, on utilise la formule, en faisant sortir le n, vu qu'il ne dépend pas de k. Ça nous donne n fois la somme pour k égale 1 à n de k moins 1 parmi n moins 1, pour se retrouver avec, on espère, la formule du binôme de Newton. Alors il y a quelques choses à régler, comme par exemple ici ça devrait être un 0, ici ça devrait être un k, et bien on va faire un glissement d'indices. Ici k va devenir k moins 1, enfin k moins 1 devient k, pardon, donc k commençant à 1, si on remplace, maintenant il vaut 0, il finit à n, donc maintenant il finit à n moins 1, et puis les k moins 1 deviennent des k, donc dans l'expression on a bien, commençant par un k dans la combinatoire. Attention le n moins 1 ne change pas, puisqu'il n'intervient pas dans le changement d'indices. OK, là on peut faire intervenir artificiellement si on a envie, la puissance 1, et donc on obtient au final que la somme pour k égale 0 à n, de k fois k parmi n, c'est n fois 2 puissance n moins 1. Pour ce qui concerne la deuxième, lorsqu'on essaye d'identifier le motif commun, c'est la somme pour k égale 0 à n, de 1 sur k plus 1, fois k parmi n. Et là de la même manière, on sait qu'on va devoir retravailler sur l'aspect combinatoire. En fait, si on calcule ceci, ça nous fait intervenir un k plus 1 factoriel au dynamateur. Et de la même manière, on fait la même astuce, c'est-à-dire faire apparaître ce qu'on souhaite observer. Donc faire un plus 1 moins 1 à l'intérieur de ceci. Et bien ça nous donne donc k plus 1 factoriel, n plus 1 moins k plus 1 factoriel, ça c'est ce qu'on souhaite faire apparaître. Et pour former un combinatoire, il faut qu'au-dessus ça corresponde au terme d'en dessous, donc un n plus 1, et donc pour compenser la multiplication par n plus 1 au-dessus, on divise par n plus 1 à côté. Et donc au final, ce terme-là est égal à ce terme-là. Mais il n'y a plus qu'une seule apparition du k, et ça, ça nous intéresse. En effet, de la même manière, on sort le n plus 1 grâce à l'expression qu'on a déterminée, et ici, on préférerait que ça commence à k, donc on fait le glissement d'indice, et ici, c'est exactement le binôme, avec des coefficients 1, sauf que le k commence à 1, alors qu'il est censé commencer à 0. Or, à 0, ça vaut quoi? 0 parmi n moins n plus 1, ça vaut toujours 1. 0 parmi n'importe quel nombre, c'est 1. Donc on a juste à le retirer de la somme finale. Finalement, la somme présentée juste ici, c'est 1 sur n plus 1, facteur de 2 puissance n plus 1 moins 1. Donc voilà, il ne faut pas dans cet exercice avoir peur de formaliser ce qu'on nous demande, vu que c'est présenté de manière un peu bizarre avec les trois petits points. Et ensuite, on travaille sur l'expression du binôme de Newton, et vraiment, ça c'est un enjeu crucial en maths, c'est, on connaît une formule, et c'est jamais sous cette forme qu'on la représente lors du concours, lors des écrits, lors d'une colle, c'est jamais exactement ce à quoi on est habitué, il ne faut pas se laisser décontenser, il faut se ramener à cette formule, en travaillant sur les termes. OK, on va avoir des termes correctifs qui vont apparaître, des trucs qu'on n'a pas pensé, mais c'est pas grave, vu qu'au final, on obtient bien la formule qu'on connaît, on l'applique, et puis on regarde le résultat. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis à bientôt.

Somme de coefficients binomiaux

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