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Dans cette vidéo, Mathis de Cydéo résout trois systèmes linéaires avec trois inconnues en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Cette méthode permet de triangulariser le système afin d'obtenir une équation pour x, une pour y et une pour z et ainsi simplifier les calculs. Pour résoudre le premier système, il utilise le pivot de Gauss en soustrayant des combinaisons linéaires des lignes du système. Il obtient alors la solution unique (1, 0, 1). Pour le deuxième système, il applique la même méthode et obtient la solution unique (1, 2, 3). Enfin, pour le troisième système, qui a quatre inconnues, il obtient une solution paramétrée par une variable, et donc une infinité de solutions. La méthode du pivot de Gauss est une première approche pour résoudre des systèmes linéaires, d'autres méthodes existent notamment la résolution matricielle.

Bonjour à tous, c'est Mathis de Cydéo et dans cette vidéo on va résoudre des systèmes linéaires. On demande de résoudre les trois systèmes suivants, 2x plus 3y moins z est égal à 1, 4x plus y plus 2z est égal à 6, et x moins 3y plus z est égal à 2 pour le premier, c'est parti. Alors tout d'abord il faut essayer de classer le système que l'on cherche à voir. Alors il y a trois équations et trois inconnues. Alors on a du coup une idée de la solution qu'on va optimiser, enfin en tout cas le type, ça dépend, il n'y a en tout cas pas d'équation de compatibilité. Alors, je vous ai un peu spoilé dans le titre, on va appliquer plutôt la méthode la plus utile pour résoudre les systèmes linéaires, il faut tout le temps appliquer la méthode du pivot de Gauss. Alors des fois c'est un peu embêtant vu qu'on voit qu'il y a quelque chose qui se résout très simplement, de manière bien plus rapide, mais en fait je vous conseille quand même d'appliquer le pivot de Gauss, vu que c'est quelque chose qui permet d'automatiser sa prise en compte de l'exercice, ça va, au moins on n'a pas à réfléchir, on applique toujours la même méthode, on ne se pose pas de questions de « ah, est-ce qu'à ce moment là je pourrais plus utiliser ça? » Non, on applique, paf, paf, paf, paf, des fois ça fait un peu plus de calcul, c'est pas grave, on sait où on va. Alors, la méthode du pivot de Gauss, elle sert à quoi? Elle permet de triangulariser, je vais y arriver, le système que l'on obtient. Donc on devra au final obtenir une équation ici avec x en premier, ensuite avec y en premier, et finalement juste avec z. Ok, donc le but c'est d'éliminer ces trois termes ici. Alors c'est parti, on a le droit à quoi pour la méthode du pivot de Gauss? Deux systèmes sont équivalents, si et seulement si on a fait un changement de ligne entre les deux, si on a soustrait une combinaison linéaire des autres lignes à une ligne, ou si on a multiplié une ligne par un coefficient réel. Voilà ce qu'on a le droit de faire. Alors à partir de là, comment est-ce que ça se passe? Eh bien tout d'abord, qu'est-ce qu'on va faire? On va enlever les x qui sont présents ici avec les opérations suivantes, on enlève deux fois la première ligne à la deuxième, et on enlève un demi fois la première à la troisième. On obtient ceci, donc c'est bon, on a effectivement juste du x pour la première. C'est notre première étape de triangularisation. Ok, maintenant on doit enlever un des y qui est présent ici. Alors ce qu'on va faire, c'est pour que ce soit plus simple à manipuler, la deuxième on va la multiplier par deux, comme ça on obtient des facteurs quantis un peu plus simples. Et ensuite, ce qu'on peut faire c'est L3 va recevoir moins deux fois L2, puisqu'on obtient ici un terme normé en y, c'est quand même plus simple. Et puis on échange finalement dans le but de se retrouver ici avec un système triangulaire dans ce sens-là. La dernière étape, c'est d'ajouter cinq fois la deuxième ligne à la troisième, c'est ce qu'on fait dans l'étape ici, et on obtient finalement moins 21z qui est égal à moins 21. Et c'est là qu'on voit toute la puissance de la triangularisation, c'est du mal avec ce mot, de Gauss, c'est qu'une fois qu'on a triangularisé le système, c'est très très simple d'arriver à la solution. Donc z ici est égal à 1, on remplace z dans les expressions de dessus, et au final on en déduit x égale à 1, y égale 0, et z est égal à 1. Donc la solution du système linéaire, c'est le triplet, il n'y en a qu'une seule, elle est unique, c'est le triplet 1 0 1. Voilà ce qu'on peut en dire. Pour le deuxième, c'est aussi une équation à trois équations et trois inconnues, alors on va établir la même méthode, le pivot de Gauss. Tout d'abord, c'est plus simple quand on manipule des lignes normalisées, donc là on prend la première ligne comme étant normalisée, c'est plus simple. Et ensuite, qu'est-ce qu'on fait? Pour supprimer les premiers x, la deuxième, on va lui retrancher la première ligne, et la troisième, deux fois la première ligne. Ça nous donne cette expression-là. Et ensuite, c'est directement plutôt agréable à manipuler, vu qu'on doit simplement additionner L2 à L3 pour faire disparaître le y que l'on ne souhaite plus ici. Donc L3 plus L2 devient L3. Et ça y est, on obtient donc les solutions suivantes, z égale 3, y égale 2 et x égale 1. D'ailleurs, dans ces systèmes où on obtient des solutions plutôt simples, vous voyez, c'est quand même plutôt facile à manipuler, et bien ça ne coûte pas grand-chose d'aller vérifier notre solution dans les équations qui ont été proposées ici. Je ne l'ai pas fait au premier, mais ça ne prend vraiment pas beaucoup de temps. Donc ce qu'on peut faire, c'est x égale 1, ça fait 2 plus 2 plus 3, ça fait bien 7. Ici, 1 plus 4 plus 3, ça fait bien 8. Et puis 1 plus 2 plus 6, ça fait bien 9. Donc on a vérifié les solutions du système linéaire. C'est seulement le triplet 1, 2, 3. Et pour la dernière, on a trois équations à 4 inconnues. Attention maintenant, on va peut-être avoir une dépendance suivant une ou deux composantes. Et bien, on va pourtant appliquer la même méthode, c'est ça qui est pratique, c'est que peu importe le système auquel on fait face, on peut l'appliquer. Donc la deuxième, pour supprimer ici le x, on obtient l2 moins l1, et finalement on se retrouve juste avec moins 2t égale 0. On a vraiment une grosse rasia sur notre ligne, mais c'est pas grave. Triangulariser le système, c'est au pire avoir un triangle totalement en diagonale, mais si on arrive à faire des marches de plus en plus grandes, c'est bien aussi. C'est bon. Par contre, bien sûr, on va devoir ici intervertir pour former la marche que l'on souhaite. Voilà, donc on intervertit, et puis finalement ici on obtient ce que l'on veut, sachant que t est égal à 0, donc on simplifie les choses. Mais on le garde bien en tête. Donc on note ici t est égal à 0, et dans les autres, on remplace, mais là on se retrouve, on le sait, on savait rien qu'en analysant, c'est pour ça que c'est intéressant, 3 équations, 4 inconnues, ça nous donne forcément les autres en fonction d'une choisie. Donc ici j'ai décidé d'exprimer en fonction de z, donc ici j'exprime x et y en fonction de z. Ça nous donne finalement x qui est égal à 1, ça ne dépend pas de z, c'est le hasard, y qui vaut moins z plus 2, et t qui est égal à 0. On a résolu le système linéaire. Alors comment est-ce qu'on écrit maintenant l'ensemble des solutions? Eh bien z peut valoir n'importe quelle valeur, pour autant que le système vérifie ça. Donc z c'est un degré de liberté, comme on dit, pour le système, et il peut valoir n'importe quel système, donc c'est une solution qui est paramétrée par z. Donc l'ensemble des solutions, x c'est forcément 1, y c'est moins z plus 2, ensuite z c'est z, et t vaut 0. Tout ça pour n'importe quel z appartenant à R, car ce triplet pour n'importe quel z vérifie cette équivalence. Et donc on a bien répondu à la question, on a une infinité de solutions pour celui-là. Donc voilà, c'est une première approche de la méthode du pivot Gauss pour des résolutions de système linéaire. Un autre type de résolution, ça peut être une résolution matricielle, mais ça on le verra un peu plus tard dans le cours. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

Systèmes linéaires

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