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Dans cette vidéo, Mathis de Studio nous explique comment encadrer des expressions mathématiques. Il commence par nous demander d'encadrer à la main x² + x + 1 pour x appartenant à (-1,0). Il évalue chaque terme de cette expression pour x compris entre -1 et 0, ce qui lui permet de déterminer un encadrement grossier, qui est amélioré en effectuant une transformation canonique du trinôme. Il en déduit le minimum et le maximum de cette expression pour x compris entre -1 et 0. Il applique ensuite la même méthode pour l'expression x+1/(x²+x+1), avec un encadrement grossier et un encadrement plus précis obtenu à partir du tableau de variation de la dérivée de cette expression. En conclusion, il souligne l'importance de l'étude précise de l'expression pour déterminer l'encadrement le plus adéquat.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio et dans cette vidéo on va encadrer des expressions. Première question nous demande d'encadrer à la main x² plus x plus 1 pour x appartenant à (-1, 0). A-t-on obtenu le meilleur encadrement possible? Alors là, encadrer à la main, on ne sait pas trop ce que ça veut dire, mais si on se penche dessus, alors pour x appartenant à (-1, 0), si on évalue tous les termes de l'expression, x² c'est entre 0 et 1. Donc voilà, si on veut encadrer de manière grossière un peu à la main, si on veut avoir le maximum de ça, on met x² à 1 et x à 0. Donc ça nous donne 1 plus 0 plus 1, donc le maximum, 1 maximum c'est 2. Très bien, pour avoir un minimum, on met tout au minimum, x à –1 et puis x² à 0. Et ça nous donne 0. Donc voilà, en encadrant grossièrement, allez on y va, ça nous donne 0 et inférieur ou égal à x² plus x plus 1 est inférieur ou égal à 2. En fait, est-ce qu'on a obtenu le meilleur encadrement possible? Peut-être pas, ce n'est pas optimal car c'est grossier, on met x à –1, x² à 0 et puis voilà. Mais en fait, ces valeurs minimales ne sont pas forcément atteintes au même moment, pour les mêmes valeurs de x, et c'est concrètement pas la même chose. Lorsque x vaut –1, x² vaut 1. Donc on n'a pas forcément le minimum de la fonction, on a un minimum donné comme ça. On peut donc affiner cet encadrement en allant un peu plus loin, et ça nous met sur la piste avec trouver un meilleur encadrement en effectuant une transformation canonique du trinôme. En effet, si on le met sous forme canonique, alors la mise sous forme canonique en général, il y a juste un tout petit calcul à faire mais ce n'est pas très beau à faire sur la copie, donc ce que je vous conseille c'est de prendre votre brouillon, et puis qu'est-ce qu'il faut faire pour mettre sous forme canonique? On met entre parenthèses x+, alors retenez bien le nombre que l'on doit mettre pour que développé, on obtienne le bon nombre de x. Donc concrètement qu'est-ce que ça veut dire? On met x+, quelque chose, donc on sait que en développant x plus a², ça va être x² plus 2ax plus 1². Donc c'est du 2ax, et si on veut que 2ax vaille 1, donc il faut que a vaille 1,5. Donc x plus 1,5² plus c, vu qu'en fait on va avoir une compensation à faire de par ce terme qu'on a introduit, plus 1. Et pour déterminer c, en développant ceci, on a bien x² plus x, tant mieux vu que c'est ce qu'on souhaitait obtenir avec ça, et en développant ici a², ça nous donne 1² plus c plus 1. Et on veut que ces deux expressions soient égales, car c'est mis sous forme canonique. Donc on indiduit que c est égal à moins 1². Donc voilà, on a fait ça au brouillon, et donc directement on pose la forme canonique, x² plus x plus 1, c'est x plus 1,5², plus c plus 1, donc plus 3². Voilà, la mise sous forme canonique. Et là c'est beaucoup plus simple pour trouver le minimum et le maximum de la fonction. Donc pour x qui est entre moins 1 et 0, et bien, quelle est la meilleure manière de minimiser cette fonction? Et bien on veut minimiser ce qu'il y a à l'intérieur de la parenthèse, vu que c'est au carré, et bien on ajuste à ce que ça vaille 0, et quand est-ce que ça vaut 0? Et bien quand x vaut moins 1,5, ça tombe bien, ça tombe dans l'enquêtrement ici. Donc quand x vaut moins 1,5, et bien ça vaut 0 plus 3², le minimum c'est 3². Et là on ne peut pas faire mieux, on sait que c'est le minimum de la fonction. Pour le max, et bien ici c'est croissant, les deux côtés de la parabole, donc au carré c'est bien croissant, donc au final on va prendre l'un ou l'autre des extrémités, prenons pour 0, 1,5² ça fait 1², plus 3², on a bien un encadrement par 1. Donc si on compare avec l'encadrement qu'on avait au début, et bien c'est un encadrement beaucoup plus fin, on voit, et d'ailleurs on ne pourra pas faire mieux, on voit qu'on a vachement gagné en précision, c'est un pan des maths très précis qui est l'encadrement et la précision qu'on peut avoir sur une approximation d'expression. OK? On va faire la même chose, mais pour une autre expression, x plus 1 divisé par x² plus x plus 1. Alors, premièrement, on reprend la même manière, un peu à la main, qu'est-ce que ça donne? Pour x appartenant à (-1,0), x² est entre 0 et 1, on a déjà l'encadrement pour le dénominateur, ça tombe bien, donc si on veut ici maximiser l'expression, il faut donc maximiser le numérateur et minimiser le dénominateur. En maximisant le numérateur, il faut mettre x à 0, ça vaut 1, et pour minimiser le dénominateur, on a déterminé que c'était 3 quarts. Donc finalement, c'est 1 sur 3 quarts, on a bien 4 tiers grossièrement. À l'inverse, pour minimiser ce terme, il faut minimiser le numérateur et maximiser le dénominateur. Eh bien ici, directement, en minimisant le numérateur, on tombe sur 0 avec x équivalent à moins 1. Donc on obtient l'encadrement grossier suivant, 0 est inférieur ou égal à x plus 1 sur x² plus x plus 1, est inférieur ou égal à 4 tiers. Maintenant on me demande d'encadrer au mieux cette expression pour x entre moins 1 et 0, puis pour x entre moins 4 et 1. Donc un peu de la même manière, comment est-ce qu'on s'en était sorti précédemment? Eh bien en se ramenant à une expression, en étudiant concrètement quand on faisait varier x, comment est-ce que variait l'expression ciblée juste ici? Eh bien ça nous donne envie de faire un tableau de variation pour avoir le meilleur encadrement pour cette expression. Alors voici le tableau de variation de x plus 1 sur x² plus 1. On le fait en déterminant la dérivée. Cette dérivée est toujours positive entre moins 1 et 0, puisque on a les différentes expressions. Et donc on obtient finalement cette variation ici, et directement le meilleur encadrement qu'on peut faire de ce terme, il est entre 0 et 1. Donc vous voyez, on avait effectivement la bonne borne inférieure grossièrement, mais on ne pouvait pas savoir si c'était la meilleure ou pas. Alors là on sait que c'est la meilleure, et puis en plus on a affiné de ce côté, on avait 4 tiers, maintenant on a 1. Maintenant on fait la même chose de moins 4 à 1. De moins 4 à 1 par contre il y a des variations de cette fonction, la dérivée change de signe deux fois, en moins 2 et en 0, et donc finalement on obtient ces variations-là entre moins 4 et 1. On en déduit toujours le minimum et le maximum, et finalement entre moins 4 et 1, x plus 1 sur x² plus x plus 1 varie entre moins 1 tiers et 1. On a un meilleur encadrement que l'on pourrait avoir grossièrement. Voilà, c'est une première notion d'encadrement d'expression qui fait beaucoup jouer sur qu'est-ce qu'on veut maximiser, qu'est-ce qu'on veut minimiser, c'est vraiment des choses très importantes qu'on aura en optimisation après, et ça nous permet de se rendre compte qu'on peut avoir un encadrement grossier, mais on ne saura pas si c'est le meilleur ou pas. Il faut plonger dans l'étude plus précise de l'expression pour déterminer l'encadrement le plus adéquat. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et je vous dis à bientôt!

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