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Calcul Algébrique

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique différentes manières de calculer une moyenne, à savoir la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique. Il montre ensuite différentes inégalités entre ces moyennes, en utilisant des manipulations simples, telles que l'inversion ou la sommation. Il recommande également d'utiliser des équivalences au brouillon pour vérifier la validité des propositions. Enfin, il conclut en soulignant l'importance de se servir de ce qui a été fait avant pour démontrer des inégalités ou des relations entre les différentes moyennes.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo on va étudier différentes manières de calculer une moyenne. Alors pour x et y réels, tels que y est supérieur ou égal à x, mais qui sont tous les deux strictement positifs, on pose différentes moyennes. La moyenne arithmétique, c'est la somme des deux divinés par deux. La moyenne géométrique, c'est la racine carrée de x et y. Et la moyenne harmonique, elle est définie de manière inverse, 1 sur cette moyenne, c'est égal à 1 demi de 1 sur x plus 1 sur y. Et on nous demande de montrer différentes inégalités. Alors la première, que x est plus petit que h, la deuxième que h est plus petit que g, la troisième que g est plus petit que m, et finalement que m est plus petit que y. Alors là, toutes les trois définissent une moyenne qui a du sens, qui est très intéressante à étudier. C'est dans différents domaines des mathématiques qu'on va s'en servir. Et ici on va montrer les différentes inégalités. Donc on en fait une par une. Tout d'abord la plus simple à examiner, la plus automatique, c'est la première. On a bien sûr de l'inversion à faire, sachant que ça fait intervenir 1 sur x et 1 sur y. On se sert de la seule relation qu'on nous donne, c'est forcément celle-là. Donc on part de celle-là et on fait intervenir les inverses. On a le droit, vu que c'est strictement positif, donc 1 sur x est supérieur ou égal à 1 sur y. En sommant, on a donc 1 sur x plus 1 sur y, qui est inférieur ou égal à 2 sur x. Puis en appliquant le facteur 1 demi, on a 0, qui est inférieur strictement à 1 sur h, inférieur ou égal à 1 sur x. Et là ça y est, on y est presque, on va juste inverser la relation qui est positive, et donc h est supérieur ou égal à x. Première inégalité montrée. La seconde, on peut regarder la quatre. C'est souvent les extrêmes qui sont les plus simples à montrer. Donc 0 est strictement inférieur à x et inférieur à y. Donc pour arriver à la moyenne arithmétique, il faut sommer les deux. x plus y est inférieur ou égal à 2y. Et donc en divisant par 2, on a finalement que m est inférieur ou égal à y. C'est bon aussi. OK. Là on va se mettre à comparer les moyennes entre elles. Alors montrons, c'est plus simple de poser ce qu'on souhaite démontrer, montrons que x plus y divisé par 2 est supérieur ou égal à racine de x sur y. Alors là, il faut faire attention à la manière dont on rédige l'exercice. Ce que je vous conseille c'est de passer au brouillon. Je cherche à montrer ça. Mais il ne faut pas raisonner en équivalence, sachant que c'est ce qu'on souhaite montrer. Donc il faut affirmer ce qu'on dit, on dit donc ça, donc ça, donc ça. Sauf que pour l'instant on n'a pas trop d'idées, donc on raisonne en équivalence au brouillon. Une fois qu'on aura trouvé la dernière proposition que l'on sait vraie, on partira d'elle et on refera tout le chemin inverse avec des doncs. Je sais que, donc ça, d'où ça. Mais sans équivalence, sinon on ne montre rien. Au brouillon, ça c'est positif, si et seulement si, en élevant au carré et en sachant que les nombres sont positifs. On a x² plus 2xy plus y² est supérieur à 4y². C'est équivalent à cette expression là qui est positive, et là on reconnaît une identité remarquable. x moins y, le tout au carré, est supérieur ou égal à 0. Donc cette chaîne d'équivalence, elle est vraie. Or moi je cherche à montrer que ça c'est vrai. Et bien ça tombe bien, vu que le dernier maillon de la chaîne, il est vrai. On sait que x moins y² est toujours supérieur ou égal à 0. Donc ça c'est vrai. Donc en remontant jusque là-bas, cette expression est vraie et on a réussi à montrer ce qu'on veut. Voilà, donc maintenant on repart de ce qu'on sait vrai. Vous avez compris la démarche. x moins y² est supérieur ou égal à 0. Donc x² plus y² est supérieur ou égal à 2xy. Donc on a cette expression. Et donc x plus y² est supérieur ou égal à 4xy. Or on a bien des nombres positifs, donc on prend la racine. Et finalement on obtient bien ce que l'on souhaite démontrer. M est supérieur ou égal à g. Très bien. Maintenant pour la deuxième, on cherche à montrer que h est inférieur ou égal à g. Et on a aussi pour ces nombres juste ici, 1 sur y est inférieur ou égal à 1 sur x et est strictement supérieur à 0. Donc en fait c'est là l'astuce, c'est qu'on va utiliser l'expression que l'on a montrée juste avant. A partir de ça, on utilise pour x et pour y, 1 sur x et 1 sur y. Donc qu'est-ce qu'on obtient? On a ici 1 sur x plus 1 sur y divisé par 2, c'est supérieur ou égal à racine de 1 sur x plus 1 sur y. C'est vrai puisque là on avait pris pour x et y quelconque. Donc c'est vrai aussi pour 1 sur x et 1 sur y. Et là si on compare, on a clairement ici 1 sur h, d'après l'expression qu'on nous a donnée de 1 sur h. Et puis on a juste à faire sortir la racine au déliminateur pour obtenir 1 sur g. Et tout ça est bien sûr strictement supérieur à 0. Donc on obtient bien h est inférieur ou égal à g. En conclusion, on a montré les différentes inégalités qu'on cherchait à obtenir. Donc voilà, ça c'est une méthode très classique à retenir pour démontrer la supériorité de m sur g. Et puis si on nous introduit une moyenne que l'on ne connaît pas, comme la moyenne harmonique, et bien c'est pas grave, on utilise les manipulations, là c'était pas très compliqué. Ne pas hésiter à se servir de ce qui a été fait avant. Et puis c'était une première approche des manipulations des différentes moyennes. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

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