Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Calcul Algébrique

Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous allons aborder les parties entières et démontrer différentes propriétés les concernant. 

Tout d'abord, pour représenter la partie entière d'un nombre réel X, nous utilisons la notation [X]. Notre objectif est de montrer que pour tout réel X, [X+1] = [X]+1. Pour cela, nous utilisons la définition de la partie entière, qui dit que pour un entier relatif K, [K] est inférieur strictement à X et inférieur ou égal à X+1. En utilisant cette définition et la propriété selon laquelle il n'y a qu'un seul entier relatif strictement compris entre X et X+1, nous montrons que [X+1] = [X]+1. Cette propriété est valable pour l'addition de tous les entiers. 

Ensuite, nous abordons la démonstration de la propriété selon laquelle la partie entière de la somme de deux nombres réels est inférieure ou égale à la somme des parties entières de ces deux nombres. En utilisant les mêmes relations que précédemment, nous montrons que [X+Y] ≤ [X]+[Y]. Pour cela, nous utilisons la croissance de la partie entière, qui nous permet d'utiliser la relation [X+Y] ≤ [X]+Y. Ensuite, en observant que [Y] est un entier relatif, nous pouvons le sortir de la partie entière pour obtenir [X]+[Y] ≤ [X+Y], ce qui prouve la propriété souhaitée. 

Enfin, nous examinons une troisième propriété plus technique selon laquelle la partie entière de la somme de trois nombres entiers est inférieure ou égale à la somme des parties entières de ces trois nombres. Nous utilisons une approche par cas en fonction de la position de X et de Y par rapport à leurs parties entières respectives. En évaluant les différentes parties entières, nous montrons que la propriété est vérifiée dans tous les cas. 

En conclusion, nous pouvons dire que pour tout couple de réels X et Y, la partie entière de X plus la partie entière de Y plus la partie entière de X+Y est inférieure ou égale à 2[X]+2[Y]. Il est important de retenir les différentes relations des parties entières, notamment la définition classique et la méthode de disjonction de cas basée sur la position des nombres par rapport à leur partie entière. Merci d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt !

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio, et dans cette vidéo, on va manipuler les parties entières. Alors, on note de la manière suivante la partie entière d'un réel X, juste ici, donc c'est avec les deux crochets de cette manière. On demande de montrer que pour tout réel, la partie entière de X plus 1, c'est égal à la partie entière de X plus 1. C'est quelque chose qui paraît assez intuitif. Maintenant, pour le montrer, alors, pour la plupart des exos, je dis la plupart parce que je mets des pincettes, mais bon, si c'était moi, je dirais pour 99% des exercices sur les parties entières, eh bien il faut utiliser la même relation, la seule quasiment qu'on a pour les parties entières, c'est celle-ci. La définition d'une partie entière, pour K par exemple étant la partie entière de KX plus 1, eh bien c'est K inférieur strictement à X et inférieur ou égal à X plus 1. De manière générale, on a X qui est compris entre la partie entière incluse, je vais noter un peu plus vite, la partie entière incluse, et puis strictement la partie entière plus 1. Maintenant, si on se penche sur la partie entière de X plus 1, ça nous donne cette relation-là. Donc à partir de là, on a évalué d'un côté la partie entière de X plus 1, et c'était un entier relatif. C'est ça qu'il faut retenir, c'est quelque chose de discret. Et même pour N qui est la partie entière de X, elle appartient à l'ensemble des entiers relatifs, et qu'est-ce qu'on a ? On a la même relation décalée du coup de 1, elle est strictement supérieure à X moins 1 et inférieure ou égale à X, et donc pour retomber sur la même relation, on a juste à faire un plus 1. Or là, on va utiliser la propriété des entiers relatifs, qui est qu'il n'y a qu'un seul entier relatif strictement compris entre X et X plus 1, dans cet intervalle juste ici. Et donc, on a finalement que K c'est égal à N plus 1. J'ai oublié le plus 1, juste ici. Et donc on a bien montré que la partie entière de X plus 1, c'est la partie entière de X plus 1. Et ça c'est valable pour n'importe quelle addition d'entiers en fait, pour tout K appartenant à N, la partie entière de X plus K, c'est la partie entière de X plus K. Il faut le dire distinctement. Voilà, une petite relation à retenir, on retient vite fait la démonstration, c'est pas très compliqué, de toute façon on se rapporte toujours aux relations des parties entières, sur les inégalités. Ensuite montrer que pour tout couple de réel, la partie entière de X plus la partie entière de Y est inférieure ou égale à la partie entière de X plus Y. Alors on va se baser sur les mêmes relations. On a la partie entière de Y qui est inférieure ou égale à Y. Donc la partie X plus la partie entière de Y, c'est inférieure ou égale à X plus Y. Là on aimerait passer ensuite, à l'étape d'après, on aimerait composer par la partie entière. Or, qu'est-ce qu'on sait sur cette monotonie ? Eh bien, la partie entière, c'est une fonction qui est croissante. En effet, si on a deux nombres qui sont ordonnés de cette manière, en prenant la partie entière, ils seront toujours ordonnés de la même manière. Donc on prend la partie entière, par croissance de la partie entière, la partie entière de X plus la partie entière de Y, c'est inférieure ou égale à la partie entière de X plus Y. Et là on va se servir du résultat que l'on a juste avant, car en effet, ce n'est pas exactement ce qu'on veut. Nous, on veut la somme des parties entières. Pour y arriver, on a juste à remarquer que la partie entière de Y, c'est un entier relatif. Et du coup, on peut le sortir, comme ça, de la partie entière. Et finalement, la somme des parties entières est inférieure ou égale à la partie entière de la somme. On a montré la question que l'on voulait. Ensuite, troisième question un peu plus technique. Pour tout couple d'entiers toujours. Alors, la partie entière de X plus la partie entière de Y plus la partie entière de la somme, c'est inférieure ou égale à 2X plus la partie entière de 2X plus la partie entière de 2Y. Pas facile à dire. Donc, à partir de là, qu'est-ce qu'on fait ? En fait, le mieux dans ces exercices-là, c'est de faire un schéma pour bien se représenter où est-ce qu'on est. En fait, tout va se jouer sur le cumul des différences entre la partie entière et le nombre lui-même. On va cumuler des petites différences. Et lorsque l'on prend la partie entière, on rabat tout sur l'entier. Du coup, il y a une partie qui est évincée et qui permet de faire cette inégalité. Je vous explique. Pour l'instant, on pose les différentes grandeurs dont on aura besoin. Ce sera plus simple de noter K, la partie entière de X, et L, la partie entière de Y. Et si on se rend compte, on va faire une disjonction de K suivant la position de X et de Y par rapport à leur partie entière. Regardez. Premier cas. On arrive dans le cas où X est compris entre sa partie entière et la moitié du chemin entre sa partie entière et sa partie entière plus 1. Pareil pour Y. Et quand on va sommer, on ne va pas dépasser une unité. Ce qui fait que la partie entière sera plus simple. Donc, si on se place dans ce cas-là, X plus Y, il faut évaluer les différentes parties entières maintenant. Juste pour préciser, la manière de noter de manière ensembliste permet de condenser l'écriture en inégalité. Écrire en inégalité, ça revient à écrire l'appartenance à un ensemble, donc c'est plus simple, c'est plus dense en information. Donc, X plus Y, c'est compris entre K plus L et K plus L plus 1 exclu. Et donc, à partir de là, on peut directement en déduire la partie entière de X plus Y, c'est K plus L, d'après l'écriture qu'on a juste ici. Donc, la partie entière de X plus la partie entière de Y plus la partie entière de la somme des deux, c'est 2K plus 2L. Maintenant, on évalue 2X, ça appartient à 2K, 2K plus 1, et 2Y, ça appartient à 2L, 2L plus 1. Donc, la partie entière de 2X, c'est 2K, la partie entière de 2Y, c'est 2L, et la somme vaut ça. Vous comprenez maintenant pourquoi on s'est placé à K plus 1,5, L plus 1,5, c'est puisque lorsqu'on multiplie par 2, ça permet de ne pas dépasser. Donc, pour ce cas-là, on a bien vérifié que l'expression est valide, puisqu'on a l'égalité, donc la supériorité ou égale. Deuxième cas, on se place dans le cas où Y est justement de l'autre côté de la barrière de la moitié, c'est pas très explicite, mais il se retrouve dans L plus 1,5 et L plus 1. Il se retrouve dans la deuxième partie du segment. Maintenant, on regarde l'effet sur les différentes grandeurs. X plus Y, c'est compris entre K plus L plus 1,5 et K plus L plus 3,5. Là, c'est pas direct, pour obtenir la partie entière, ça vaut soit K plus L, si on est avant K plus L plus 1, ou ça peut aussi dépasser, ça peut être K plus L plus 1, la partie entière. Mais en tout cas, c'est inférieur ou égal à K plus L plus 1. Donc au final, on peut dire que la partie entière de X plus la partie entière de Y plus la partie entière de la somme, c'est inférieur ou égal à 2K plus 2L plus 1. Maintenant, évaluons la partie entière du double. On obtient cette expression pour 2X et 2Y, et donc la partie entière de 2X plus la partie entière de 2Y, c'est 2K plus 2L plus 1, et donc on obtient bien la bonne expression. La validité de l'expression suivante. Le troisième cas, c'est dans le cas où on inverse les rôles entre X et Y, donc X se situe dans la partie supérieure et Y dans la partie inférieure. Là, c'est une phrase qui est vraiment très importante à retenir en maths, c'est par symétrie des rôles entre X et Y. En fait, X et Y jouent le même rôle ici, il n'y a pas de particularité, de propriété ou de calcul qu'on a fait. Donc en fait, c'est exactement la même chose, on a juste à inverser les deux lettres. Donc par symétrie des rôles entre X et Y, on a la même conclusion. Et enfin, dernier cas, c'est dans le cas où les deux se retrouvent dans la partie supérieure. Et donc, X plus Y, c'est compris entre K plus L plus 1 et K plus L plus 2, exclu. Et la partie entière de X plus Y, c'est égal à K plus L plus 1. Donc, au final, on a une égalité, la partie entière de X plus la partie entière de Y plus la partie entière de X plus Y, c'est égal à 2K plus 2L plus 1. Puis, on a ces différentes relations, la partie entière de 2X plus 2 fois la partie entière de Y, ça va s'afficher au prochain coup, c'est égal à 2K plus 2L plus 2. Donc, on a directement l'inégalité suivante. Conclusion, ça y est, on a balisé l'ensemble des cas possibles pour X et Y. Donc, ça y est, on se fait plaisir, on écrit la grande conclusion de l'exercice, par disjonction de K, pour toute X, Y appartenant à R, la partie entière de X plus la partie entière de Y, je l'ai dit une dernière fois, plus la partie entière de X plus Y est inférieure ou égale à 2X, la partie entière de 2X plus la partie entière de 2Y. Voilà, c'est dit. Donc, première approche sur les parties entières, qu'est-ce qu'on retient ? Il faut absolument utiliser les différentes relations, la relation classique pour les parties entières, c'est ça la plus importante, c'est très très souvent ce qu'on utilise, et des fois, vu qu'on sait qu'on va cumuler quelques erreurs, mais ça dépend de quel côté la valeur va se situer, on part en disjonction de K, c'est la deuxième méthode à retenir pour cet exercice. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt !

Partie entière

RELATED

Recommended videos

Somme et produits

Sommes télescopiques

Sommes des puissances