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Dans cette vidéo, Baptiste de Studio montre comment démontrer que la somme pour k allant de 0 à n-1 de la partie entière de x plus kn, est égale à la partie entière de nx. Il s'agit d'un exercice compliqué qui nécessite de travailler avec des sommations de parties entières. Baptiste commence par noter que la somme va ajouter des petits décalages à x, ce qui permettra de retrouver la partie entière de nx à la fin. Il pose ensuite une inégalité pour situer x par rapport à sa partie entière et utilise cette inégalité pour évaluer les deux grandeurs recherchées. Enfin, il montre comment identifier la partie entière de x plus k/n et utiliser cette information pour évaluer la somme. Au final, Baptiste démontre que la partie entière de nx est bien égale à la somme des parties entières de x plus k/n.

Bonjour à tous, c'est Baptiste de studio et dans cette vidéo on va sommer des parties entières. Alors on nous demande de montrer que pour toute n à nonturel non nulle et pour toute x à réel, la somme pour k allant de 0 à n-1 de la partie entière de x plus kn, c'est égale à la partie entière de nx. On nous donne une petite indication, on pourra poser la division euclidienne de la partie entière de nx par n. Alors c'est un exercice vraiment compliqué puisqu'il fait intervenir des sommations de parties entières, c'est quelque chose auquel on n'est pas habitué. Bon intuitivement, là à chaque fois x plus k sur n c'est à peu près la partie entière de x et vu que l'on va la sommer de 0 à n-1, on se doute qu'on va atterrir pas loin de la partie entière de nx. Bon alors il faut le montrer, c'est quelque chose qui paraît plutôt intuitif. En fait l'idée c'est que avec, on va à chaque fois rajouter k sur n et donc on va avoir des petites accumulations de quantité infinitésimale qui au final vont permettre de reconstituer la grandeur que l'on cherche. Bon à partir de ça, le réflexe classique c'est de poser l'inégalité et c'est un bon réflexe puisque c'est toujours la même chose avec les parties entières, on se base sur les deux inégalités, enfin les trois inégalités posées juste ici. Très bien et maintenant il faut essayer de s'en rapprocher. Donc on a quand même cette idée qu'il va falloir trouver l'accumulation de petites impuretés, de petits décalages qu'on va sommer etc. Bon à partir de là il y a en fait à chaque fois un décalage entre la partie entière d'un réel et ce réel en lui-même. Donc il serait bien de pouvoir le situer sur l'axe des réels et pouvoir à partir de là identifier à quoi correspond ce k sur n. Donc c'est ce qu'on va faire. Alors en fait le petit surplus qu'on va noter alpha c'est il est tel que x est égal à la partie entière de x plus alpha avec alpha entre 0 et 1 exclu puisque là il n'y a pas de souci. Maintenant si on représente sur une droite, et bien je vais tout afficher comme ça, et que l'on va segmenter en fait le si on se rend compte le x plus k sur n, sachant que k va de 0 à n-1 et bien ça va balayer l'intervalle, k sur n va balayer l'intervalle entre x et x plus 1, entre la partie entière de x et la partie entière de x plus 1. Et donc à partir de là on va forcément poser, il existe un k0 à partir duquel alpha appartient justement à cet intervalle avec un k0 particulier. Donc on arrive à un endroit et on a justement l'intervalle qui nous intéresse, on a bien situé x par rapport à sa partie entière et on en déduit une inégalité qui est bien plus fine que celle qu'on avait avec l'inégalité classique. On a en fait grâce à ça que x est compris avec notre segmentation, il est compris entre la partie entière de x plus k0 sur n et la partie entière de x plus k0 plus 1 sur n. Donc à partir de là, vous voyez comment on a resserré x autour de sa partie entière et d'un facteur qu'on a introduit, mais on l'a segmenté de manière bien plus précise. Alors comment est-ce qu'on s'en sort maintenant? On va tenter maintenant à partir de cette première approche d'évaluer les deux grandeurs qui sont ici. Tout d'abord pour la partie la plus simple, la partie entière de nx, et bien si on reprend avec les grandeurs qu'on a introduites, l'inégalité plus précise qu'on a, et bien en multipliant par n, en passant de là à là, et bien on obtient que n fois la partie entière de x plus k0, c'est inférieur ou égal à nx, et c'est strictement inférieur à n fois la partie entière de x plus k0 plus 1. Maintenant on regarde cette inégalité, et en fait n fois la partie entière de x plus k0, c'est un entier, et en fait il définit exactement la partie entière de nx, puisque la définition via l'inégalité c'est exactement celle-là. Donc maintenant on sait la partie entière de nx c'est n fois la partie entière de x plus k0, et ça tombe bien vu que ça fait intervenir la grandeur qu'on a posée spécialement pour l'accumulation de petits défauts de l'autre. Maintenant pour la deuxième, on va essayer de se rendre compte c'est quoi en fait la partie entière de x plus k sur n. Eh bien ça dépend, ça vaut soit la partie entière de x, soit la partie entière de x plus 1, ça dépend de où on se trouve sur la droite que l'on a délimité. Mais maintenant pour l'identifier correctement il faut savoir sur les n termes il y a combien de chaque, il y a combien de fois la partie entière de x et à combien de fois la partie entière de x plus 1. On repart de la même inégalité qu'on a déterminée, et puis on va tenter de faire apparaître la partie entière de x plus k sur n. Donc à partir de là on rajoute plus k sur n. On en déduit maintenant en prenant la partie entière, eh bien la partie entière de x plus k sur n, c'est égal à la partie entière de x, si et seulement si, il faut qu'il soit strictement inférieur à 1. Puisque à ce moment là, en prenant la partie entière, on retombe bien sur la partie entière de x. Donc on continue. Qu'est ce que ça veut dire que k0 plus k sur n est strictement inférieur à 1? Eh bien ça veut dire que k, l'indice de sommation que l'on regarde à ce moment là, est strictement inférieur à n moins k0 qu'on a introduit. Donc k fait partie de l'ensemble des 0, 1, etc. jusqu'à n moins k0 moins 1. Donc pour tous les cas qui sont en dessous de n moins k0, eh bien on peut dire que la partie entière de x plus k sur n, c'est la partie entière de x. Et pour tous les autres, ça y est on a dépassé le quadrillage qu'on a effectué, et du coup à partir de là, pour tous les autres cas, c'est la partie entière de x plus 1. Donc c'est bon, on a déterminé notre critère de sélection et on va pouvoir évaluer strictement ce qu'on avait. Donc la somme des parties entières au final, c'est la partie entière de x que l'on somme jusqu'à arriver à n moins k0, et puis après ce sont des parties entières de x plus 1. Et il y en a qu'à 0 puisque la somme doit faire n, on a n termes que l'on somme. Très bien, bon bah maintenant on regroupe tout ça, c'est exactement égal à n fois la partie entière de x plus k0, les k0 parties entières de x se compensent et on tombe sur n partie entière de x plus k0, c'est exactement ce qu'on avait trouvé avant. Donc conclusion, la somme pour k allant de 0 à n moins 1 de la partie entière de x plus k sur n, c'est égal à la partie entière de nx. Donc voilà c'est un exercice vraiment d'un niveau au dessus, c'est très compliqué puisqu'il faut garder l'idée qu'un réel c'est sa partie entière plus un petit surplus, et ce surplus on peut le délimiter à partir d'un intervalle plus précis en fonction d'un entier, et à partir de là on garde les mêmes travails sur les inégalités. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis je vous dis à très bientôt!

Somme de parties entières

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