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Dans cette vidéo, Mathis de Studio démontre que pour toute valeur de n, un entier naturel différent de zéro, pour tout réel x, la partie entière de la partie entière de nx divisé par n est égale à la partie entière de x. Pour aborder cet exercice, il conseille de poser des valeurs de n et x quelconques, puis on utilise la relation d'inégalité entre les deux parties entières pour construire la grandeur recherchée. En passant à la partie entière, on démontre la propriété voulue en peu de temps. Mathis conseille de ne pas se formaliser, mais plutôt de montrer qu'on a compris le cours et de manipuler les bonnes relations.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio et dans cette vidéo on va continuer à manipuler les parties entières. L'énoncé est très court, montrer que pour toute n, un entier naturel de différentes zéros est que pour tout réel, la partie entière de la partie entière de nx divisé par n est égale à la partie entière de x. Alors comment est-ce qu'on aborde cet exercice? Tout d'abord, on nous demande de montrer pour toute n et pour toute x, donc réflexe, on pose n et x quelconque. Maintenant, c'est un exercice sur les parties entières, donc très très très très très très généralement on utilise la relation d'inégalité entre les deux. Donc par définition, on se fait plaisir, on la note, la partie entière de x est inférieure ou égale à x, c'est strictement inférieur à la partie entière de x plus 1. Mais ensuite on va essayer de construire justement cette grandeur là. Donc en continuant la chaîne, on doit multiplier par n. On obtient cette expression là, et ensuite on aimerait passer à la partie entière pour obtenir la partie entière de nx. Or ici, les deux chiffres sont déjà des identités relatives, donc passer à la partie entière, ça ne change rien. n fois la partie entière de x est inférieure ou égale à la partie entière de nx, qui est strictement inférieure à n fois la partie entière de x plus n. Là c'est la propriété de la partie entière de k plus n, c'est égal à la partie entière de k plus n, si n est un entier relatif. Et ensuite, on divise par n, donc la partie entière de x est inférieure ou égale à la partie entière de nx divisé par n, qui est strictement inférieure à la partie entière de x plus 1. Et là ça y est, on remarque que c'est exactement la définition de la partie entière de x. Car ici, on a un strict avec un plus 1, sachant que ça c'est un entier. En passant, non pardon, je me suis trompé, je recommence. Ici, on a un entier. Maintenant, pour arriver à ce qu'on cherche à démontrer, il faut passer à la partie entière. En passant à la partie entière, les deux ne bougent pas, et on a directement que, d'après l'inégalité juste ici, la partie entière de la partie entière de nx divisé par n est égale à la partie entière de x. Donc voilà, c'était un petit exercice très rapide pour démontrer une propriété intéressante. Bon, c'est quelque chose d'intuitif, ça peut faire peur comme démonstration, mais il ne faut pas se formaliser. On rend compte qu'au final c'est très très rapide. Il faut poser les bonnes relations, montrer qu'on a compris le cours, et puis les manipuler, et puis tout ira bien. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

Partie entière

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