Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Trigonométrie

Dans cette vidéo, Mathilde Studio explique comment résoudre des inéquations trigonométriques compliquées. Pour résoudre la première inéquation, elle recommande de représenter le cercle trigonométrique et de limiter les valeurs de cos(x) à une plage spécifique. Pour la seconde inéquation, elle utilise une formule de cosinus pour se ramener à une équation plus gérable. Pour la troisième inéquation, elle ajoute des racines pour utiliser une formule trigonométrique et la résoudre. Enfin, pour la quatrième inéquation, elle utilise une transformation pour isoler cos(x/3) et l'expresser en fonction de cos(pi/4) et sin(x/3) en utilisant une formule trigonométrique. Elle explique comment extraire les solutions sur l'intervalle 0 à 2pi pour obtenir les solutions finales. Elle fournit également des astuces pratiques pour résoudre les inéquations trigonométriques en général.

Bonjour à tous, c'est Mathilde Studio, et dans cette vidéo on va résoudre des inéquations trigonométriques un peu corsées. On nous demande de résoudre dans l'intervalle i donné, les inéquations suivantes. Alors premièrement, cos de x est inférieur ou égal à 1 demi sur moins pi pi. Alors pour ça, l'astuce est toute simple, et c'est la meilleure, c'est de représenter sur un cercle trigonométrique ce qu'on nous demande. Alors, on sait qu'on ne doit pas dépasser 1 demi, donc ça concerne toute cette plage là de valeur, donc toute cette plage là d'angle. Alors attention, on nous demande sur moins pi pi, et donc au final on part de moins pi, on avance, on avance, on arrive jusqu'à moins pi sur 3, qu'on inclut, vu que c'est une inégalité large, et puis on reprend à pi sur 3 pour arriver jusqu'à pi. Donc au final, l'ensemble de solutions, c'est l'union de ces deux ensembles. La deuxième, cos de x est strictement supérieur à cos de x sur 2, sur 0 de pi. Et bien là, on est un peu embêté, vu que cos de x et cos de x sur 2 n'ont pas le même argument, donc ça ne varie vraiment pas de la même manière, donc le plus simple ce serait de se ramener à l'étude d'un cosinus peut-être plus compliqué, mais qui au moins a le même argument. Et là, ça doit nous mettre la puce à l'oreille, vu qu'on a un argument et son double, ou sa moitié. Or, lors d'une... c'est pour ça qu'il faut bien avoir ces formules en tête, il y a une formule de cosinus qui permet de passer d'un argument à son double, etc. C'est bien sûr la formule du cosinus 2x. Et donc c'est ce qu'on va utiliser. En fait, cosinus x, c'est en fait cosinus de 2 fois x sur 2. Or, cosinus 2x, c'est 2 cos² moins 1. Donc c'est ce qu'on utilise ici, et alors on obtient bien une inéquation faisant avenir cos de x sur 2. Donc 2 cos² x sur 2 moins cos de x sur 2 est strictement supérieur à 1. Très bien, maintenant on souhaiterait continuer. Or, on était content de faire avancer. En général, ce qu'on fait, c'est qu'on factorise par cos de x, sauf que là, c'est pas 0 qui est en face, qui nous intéresserait au niveau signe. C'est une valeur particulière, donc on est un peu coincé. En fait, là on va utiliser une astuce qui est très très courante dans les inéquations trigonométriques. C'est le fait de considérer les fonctions trigonométriques comme étant une inconnue d'un polynôme. En effet, si on regarde ceci, c'est un polynôme en fait en cosinus de x sur 2. Donc si on pose grand x qui vaut cosinus de x sur 2, cette inéquation est équivalente à 2x² moins x moins 1 est strictement supérieur à 0. Et ça c'est bien plus simple à traiter, on est bien plus habitués. Donc on identifie déjà, il y a une racine qui est évidente, c'est 1. 2 moins 1, moins 1, ça fait bien 0. Donc on factorise par x moins 1, et au final on trouve en facteur 2x plus 1, ce qui nous donne d'ailleurs la deuxième racine, c'est moins 1 demi. Ok. Et on regarde ça, quand est-ce que c'est supérieur ou égal à 0? Bon déjà c'est un polynôme du second degré, donc on sait que c'est entre les racines ou à l'extérieur des racines. Et ce qui nous donne la réponse, c'est le signe devant le x², il est positif. Donc la fonction est convexe, la solution positive est en dehors des racines. Donc x, pour que ça soit positif, il faut que x soit compris entre moins infini et moins 1 demi, ou entre 1 et plus infini. Or grand x, on a dit que c'était cosinus de x sur 2. Et ben cosinus de x sur 2, ça appartient à moins 1. Donc au final, c'est un peu plus précis que ça. Au final on obtient cos de x est strictement supérieur à cos de x sur 2, si et seulement si, cos de x sur 2, c'est l'intersection plutôt de cet intervalle avec celui-ci, et on obtient moins 1 inclus, moins 1 demi exclus. Et là ça y est, on s'est ramené à une résolution plutôt classique d'une inéquation trigonométrique. On sait faire. Entre moins 1 et moins 1 demi, on est sur cette plage là. Donc ça va de 2pi sur 3 à 4pi sur 3, à 2pi près. Et au final, on trouve que x doit être compris entre 4pi sur 3 plus 4kpi exclu, et 8pi sur 3 plus 4kpi exclu. Alors maintenant, si on se souvient de la démarche, il faut extraire les solutions qui sont seulement présentes sur 0, 2pi. Donc à partir de là, il faut extraire les solutions sur 0, 2pi. Ce que je vous conseille à partir de là, c'est d'écrire pour quelques cas seulement ce que ça donne comme intervalle. Je vous conseille que pour des cas infinis, ça n'interviendra jamais dans 0, 2pi. Donc c'est ce que j'ai fait. Pour k qui valait moins 1, ça nous donne l'intervalle moins 8pi sur 3, moins 4pi sur 3. Les deux valeurs sont en dessous de 0, donc on sait qu'il n'y en a aucune qui est présente dans le résultat final. Et après, ça passe directement pour k égale 0 à 4pi sur 3, 8pi sur 3. Or, 8pi sur 3, c'est strictement supérieur à 6pi sur 3, donc 2pi. Donc, on peut en conclure que les seules solutions de cette équation comprises entre 0 et 2pi, eh bien c'est 4pi sur 3 exclue, 2pi inclue, c'est l'intersection de 0, 2pi avec cet intervalle-là. Voilà la solution de cet exercice. Ensuite, on nous demande cos²x est supérieur ou égal à cos2x sur R. Eh bien c'est un peu la même chanson, vu qu'on souhaite se ramener à une seule... Là, on a deux entités qui n'évoluent pas de la même manière quand même. cos²x, c'est vraiment pas la même chose. Or, là c'est vraiment totalement direct, vu qu'on a un lien direct entre cos²x et cos2x. On l'utilise avec plaisir. Au final, ça revient avec cos²x plus 1, le tout divisé par 2, est supérieur ou égal à cos²x. S'il y a seulement 6pi, cos²x est inférieur ou égal à 1. Bon, ça va par propriété du cosinus, c'est tout le temps vérifié. Donc au final, les solutions sur moins pipi, eh bien c'est moins pipi. Dernière inéquation, cos²x sur 3 est inférieur ou égal à sin²x sur 3. Là, c'est toujours la même chanson, il faut essayer de ramener x d'un seul côté, de n'avoir que du cosinus ou que du sin²x sur 3. En tout cas, les deux qui varient en même temps, c'est très compliqué à suivre. Alors là, une petite technique qu'il faut avoir, eh bien on va tout ramener pour bien se rendre compte. Hop, les deux cas, j'ai fait une division sur les cas qui n'étaient pas nécessaires. Là, si on se rend compte de ce qui se passe, eh bien on a cos²x sur 3 moins sin²x sur 3, qui est inférieur ou égal à 0. Et là, on va utiliser le fait qu'on peut faire apparaître des 1. Et vu qu'il y a un 0 ici, on peut ajouter aussi n'importe quel multiple, donc aussi diviser, et donc on va faire apparaître des 1 sur racine de 2, et des 1 sur racine de 2, pour utiliser une formule trigonométrique. Donc là, j'ai fait apparaître les 1 sur racine de 2. Or là, c'est exactement comme si c'était cosinus de x sur 3, cospi sur 4, moins sinus de x sur 3, sinus pi sur 4, qui est inférieur ou égal à 0. Et donc, c'est strictement équivalent à ce que cosinus de x sur 3 plus pi sur 4, voilà, c'est la formule trigométrique, est inférieur ou égal à 0. Et là, ça y est, encore une fois, on est retombé sur nos pattes, on retombe sur une équation que l'on sait traiter. Au final, x doit valoir 3pi sur 4 plus 6kpi, 15pi sur 4 plus 6kpi. Et puis pour finir, on doit recentrer sur 0, 2pi, de la même manière, on écrit les premiers intervalles. Alors pour k qui vaut moins 1, on n'est pas encore arrivé à 0, et là ça y est, on y est, et en même temps, on dépasse 2pi avec le 15pi sur 4. Donc au final, on fait l'intersection de tout ça, et on trouve que les seules solutions sur 0, 2pi, c'est l'intervalle 3pi sur 4, 2pi. Voilà, c'est la fin de cet exercice très complet sur les inéquations, où on commence à avoir quelques techniques, les transformations, on utilise toujours les mêmes formules trigométriques à bien connaître. La formule utilisant les polynômes est très importante, à retenir. Donc si on sait manipuler aisément ces 4 inéquations, on est bien parti pour les concours. Bravo, et merci d'avoir suivi cette vidéo. A bientôt pour de nouvelles aventures.

Inéquations trigonométriques

RELATED

Recommended videos

Formule de duplication

Formule d'addition