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Dans cette vidéo, Mathis de studio explique comment calculer les cosinus et sinus de π sur 8 de manière exacte sans utiliser de calculatrice. Il démontre que π sur 8 peut être ramené à des angles plus connus comme π sur 3, π sur 6 et π sur 4. A partir de là, il utilise la formule classique de cosinus 2x pour trouver la valeur exacte de cosinus 2π sur 8, qui est approximativement égal à 0.92. Il utilise la même logique pour trouver la valeur exacte de sinus 2π sur 8, qui est approximativement égal à 0.38. La démarche est intéressante car elle montre comment trouver des valeurs exactes en utilisant des formules connues.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va déterminer des cosinus et sinus individuels, mais de manière exacte. Alors, on demande de calculer en effet le cosinus et le sinus de π sur 8. Alors, ce n'est pas un cosinus et un sinus de référence, donc on va devoir le déterminer, mais de manière exacte. Pas la calculatrice, sinon l'exercice serait très rapide. Alors, cosinus de π sur 8, pour le calculer de manière exacte, il faut le ramener à des angles qu'on connaît déjà. Donc les trois angles qui ont des valeurs intéressantes en tout cas, c'est bien sûr π sur 3, π sur 6 et π sur 4. Donc comment est-ce qu'à partir de π sur 8, je peux me ramener à un de ces trois angles? C'est très simple, π sur 8, vous l'aurez compris, c'est π sur 4 divisé par 2. Et là déjà, rien que d'écrire ça, ça enclenche plein de réflexes normalement, puisqu'on se retrouve à devoir appliquer un facteur 1 demi à un cosinus, ou un facteur 2, dans un sens ou dans l'autre. Et donc là, on utilise la formule très classique de cosinus 2x. Cosinus 2x, c'est 2 cosinus²x moins 1. Et donc, qu'est-ce qui va faire office de quoi? Eh bien, x, ça va être π sur 8. En effet, on a 2 cos²π sur 8, qui est égal du coup à cosinus 2x, donc cos π sur 4, plus 1. Ensuite, on divise par 2, et puis on prend la racine, sachant que, bon, on sait que sur le cercle trégo, π sur 8, il est très proche du début, là donc il est positif. Donc on prend la racine positive. Cosinus 2π sur 8, c'est racine de 1 demi, plus racine de 2 sur 4. Donc on a la valeur exacte de cosinus 2π sur 8, c'est plutôt joli. Si on fait l'application numérique, c'est environ 0.92, et donc on ne s'est pas tellement trompé, vu que c'est très proche, en effet, du début du cercle trégo. Magnifique dessin. Ensuite, pour le sinus, c'est un peu la même logique. On utilise la formule liant cosinus 2x et le sinus de x, pour en extraire sinus² π sur 8, c'est égal du coup à 1 demi, moins cos 2π sur 4 sur 2. Et de la même manière, on sait que le sinus 2π sur 8 est positif, donc on prend la racine positive, sinus 2π sur 8, c'est racine de 1 demi, moins racine de 2 sur 4. Et, petite application numérique, c'est environ égal à 0.38. Voilà, donc c'est un exercice plutôt rapide. La démarche est intéressante, l'idée de, ok on veut arriver là, mais de manière exacte, donc il faut se ramener à ce qu'on connaît, et à partir de là, on travaille sur les différentes équations, avec les formules que l'on connaît, et tout passe bien. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis maintenant je vous dis à bientôt!

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