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Complexes : Formes trigo, expo

Le cours explique comment transformer des nombres complexes en forme exponentielle en factorisant par eit plus eit prime sur 2 à l'aide de la méthode de l'angle moitié. Il montre également comment vérifier si le nombre obtenu est positif en utilisant la fonction cosinus et dans quelles conditions rajouter un pi à l'argument. L'application pratique est présentée pour les nombres 1 et -1.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur la forme exponentielle. L'exercice commence par transformer eit plus eit prime en factorisant par eit plus eit prime sur 2. L'objectif c'est de mettre ce nombre sous la forme exponentielle. Après on veut en déduire la forme exponentielle des nombres complexes suivants. Donc on applique la formule de la question 1. Ok commençons. En factorisant par eit plus eit prime sur 2 ça vous fait penser à un truc c'est la méthode de l'angle moitié et c'est absolument à maîtriser car ça arrive tout le temps. C'est vraiment très utile vraiment dès que vous faites un calcul avec des complexes quasiment vous l'utilisez. C'est incontournable. Donc eit prime on commence à factoriser. Pourquoi l'angle moitié? Parce que cet angle c'est, si on le remarque bien, la moyenne de ces deux angles. Donc c'est l'angle moitié c'est la moyenne, la moitié entre les deux angles. Maintenant on commence à compléter. On voit que theta moins theta prime sur 2 plus theta plus theta prime sur 2 est égal à theta et theta prime moins theta sur 2 plus l'angle moitié est égal à theta prime. Donc on a bien fini de factoriser. Donc on continue et là en fait on a deux cosinus mais en fait on reconnaît ici là une formule de l'air. C'est juste qu'il n'y a pas le sur 2 donc on le rajoute ici deux cosinus. Theta moins theta prime sur 2. Alors là on voit qu'on a choisi un angle theta moins theta prime sur 2. Là il y a un plus donc cosinus. Si il y avait un moins ici peut-être que ça aurait été sinus. Donc 2i sinus mais là il y a un plus donc c'est cosinus. Et si c'est un cosinus l'angle que l'on met dedans n'a aucune importance. On peut choisir soit cet angle soit cet angle là car le cosinus est pair. Donc qu'on ait un angle ou son opposé dedans ça ne change rien. EI theta plus theta prime sur 2 donc on retrouve l'angle moitié ici. Là on pourrait dire c'est bon j'ai fini je l'ai mis sous forme exponentielle donc avec un réel devant un argument. Sauf que ce réel c'est pas le module parce que pas forcément parce que le module c'est un nombre positif et il faut bien penser à le vérifier. Et un cosinus et bien c'est pas tout le temps positif. On va vérifier ça dans quelles conditions le cosinus est-il positif. Donc 2 cosinus theta moins theta prime sur 2 est supérieur à 0. Si et seulement si. Theta moins theta prime sur 2 est compris entre moins pi et pi à 2kpi près. Et donc on simplifie donc theta moins theta prime sur 2 est compris entre moins pi sur 2 pi sur 2 à kpi près. Ainsi on a la condition pour que le chiffre devant soit positif. On a deux cas soit theta moins theta prime est bien dans cette condition là et le cosinus est positif donc c'est bien comme ceci. Il faut écrire le nombre avec rho donc le module est égal à 2 cosinus theta prime moins theta sur 2 et alpha est égal theta plus theta prime sur 2. Mais si c'est pas le cas ça veut dire que le cosinus est négatif donc on va mettre des valeurs absolues autour du cosinus et rajouter plus pi à l'argument. Voilà on entoure tout parce que tout ça c'est la réponse. Maintenant on va appliquer cette formule un peu dans la vraie vie. Donc en déduire la forme exponentielle des nombres complexes suivants. Alors vous me direz mais en quoi c'est une application directe? Là on a des 1 et 1 là c'est pas des formes exponentielles. Si vous vous rappelez bien ce que c'est l'exponentielle complexe et bien 1 est égal à ei0 et moins 1 est égal à ei pi. Ei0 est là, 1, ei pi est là, moins 1. Voilà il faut se représenter sur un cercle et ça c'est à connaître par coeur évidemment. Donc on peut le réécrire sous forme exponentielle pour, là je vous l'écris mais après vous pourrez directement passer à la suite plus tard. Donc d'après la question 1 on applique z1 est égal à 2 cosinus theta moins theta prime sur 2, ei theta plus theta prime sur 2. Cosinus pi sur 6, racine de 3 sur 2, fois 2, racine de 3, ei pi sur 6. Là on est donc bien dans le cas où le cosinus est positif, on l'a calculé. S'il s'avérait que le cosinus fut négatif, on laisse le moins devant et on fait une autre étape où on met un plus pi en supprimant le moins. On va pas aller vérifier à chaque fois si theta moins theta prime appartient à cet ensemble. C'est beaucoup plus rapide de calculer directement le cosinus, voir s'il est négatif et si négatif, enlever le moins et rajouter un pi dans l'argument. Maintenant z2, 2 cosinus 4 pi sur 3 moins pi sur 2, ei 4 pi sur 3 plus pi sur 2. Ici on a aussi encore une fois pi sur 6 donc encore une fois racine de 3 et 7 pi sur 6. Voilà ça conclut cette vidéo et à la prochaine

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